２人ゲームのゲーム値と最適戦略

質問

行列ゲームの２人ゲーム問題を解いていて最後のところで詰まってしまいました。

得点行列で与えられる２人ゲームのゲーム値と最適戦略を求める問題で、

１　－１　－１
－１　－１　３
－１　２　－１

シンプレックス法を用いて、次のように求めました。

１　０　０　１／２　０　０　１／２
０　０　１　０　１／４　０　１／４
０　１　０　０　０　１／３　１／３
０　０　０　１／２　１／４　１／３　７／１２

ゲーム理論の本を読みながらここまで頑張ってみたのですが、
どの部分がゲーム値と最適戦略になるのかが理解できませんでした。

どなたかご教授お願いいたします。

回答No.4

kts2371148 · ベストアンサー

まず、前回の回答の訂正をします。

x1 = 6/13 , x2 = 3/13 , x3 = 4/13 , y1 = 6/13 , y2 = 4/13 , y3 = 3/13

が正しい値です。
そして、この値のとき、均衡状態になります。
もしＡさんもＢさんもこの値の通りの確率で選択肢を選べば、

f(x1,x2,x3,y1,y2,y3)
= 1x1y1 -1x1y2 -1x1y3 -1x2y1 -1x2y2 +3x2y3 -1x3y1 +2x3y2 -1x3y3
≒ -0.0769

となりますので、Ａさんは、ゲーム１回当り、平均で 0.0769 点 程度、損をすることになります。
逆にいえば、Ｂさんは、ゲーム１回当り、平均で 0.0769 点 程度、得をすることになります。

さて、x1,x2,x3,y1,y2,y3 にいろいろな値を入れてみました。
（ご自分でも試してみて下さい。ただし、x1 + x2 + x3 = 1 , y1 + y2 + y3 = 1 にして下さい。）
その結果として、少なくともこの問題に限っては、次のことがわかりました。

・Ｂさんが上記の戦略を採用すれば、Ａさんがどんな戦略をとったとしても、
　　Ｂさんは平均で 0.0769 点 程度、得をする → Ｂさんにとってはこの戦略が最適
・Ａさんが上記の戦略を採用すれば、Ｂさんがどんな戦略をとったとしても、
　　Ａさんは平均で 0.0769 点 程度、損をする → Ａさんがこの戦略をとるメリットはあまりない

ということは、Ｂさんは、相手の戦略を知らなくても得をすることができます。
（もちろん、相手の戦略を知っていればもっと得ができるでしょう。）
しかし、Ａさんは、Ｂさんが正しい戦略をとる限り、勝ち目はありません。
しかも、Ｂさんが正しい戦略をとらないとしても、
Ｂさんの戦略をＡさんが読めなければ、Ａさんは勘で勝負するしかありません。

私がこの問題を最初に見たとき、ＡさんとＢさんの勝率は５分５分だろうと思っていました。
でも、実はこのゲームはＢさんが有利なんですね。
yatukoさんのおかげで、私も少し賢くなれました。ありがとうございます。

お礼

分かりやすく書かれていたので、この計算の考え方が理解できたと思います！
自分で頑張って計算してみました。
長々と本当にありがとうございました！！

回答No.3

kts2371148

>> x1 + x2 + x3 = 13/12 ですから、x1,x2,x3 に 12/13 をかけると、
> のところは、逆数にしてからかけるということでいいのでしょうか？

はい、その通りです。x1 + x2 + x3 = 1 になるように、そうします。

> この値がゲーム値ということになるのですか？

ではありません。
はっきりはわかりませんが、シンプレックス表にゲーム値は書いていないのかもしれません。

では、リクエストがありましたので、続きを書くことにします。

Ａさんは選択肢１，２，３のどれかしか選べませんから、x1 + x2 + x3 = 1 、
同様にＢさんについて、 y1 + y2 + y3 = 1 です。

１回ゲームをするときＡさんが得られる得点の期待値は、
f(x1,x2,x3,y1,y2,y3) = 1x1y1 -1x1y2 -1x1y3 -1x2y1 -1x2y2 +3x2y3 -1x3y1 +2x3y2 -1x3y3
です。

均衡状態では、x1 + x2 + x3 = 1 を保った状態で
x1 を少しだけ増やして x2 を少し減らしても f の値は変わりません。
これを数式で表すと、
∂f/∂x1 - ∂f/∂x2 = 0
となります。（これは偏微分というものです。）

同様にすると４つの式が得られ、
∂f/∂x1 - ∂f/∂x2 = 0
∂f/∂x2 - ∂f/∂x3 = 0
∂f/∂y1 - ∂f/∂y2 = 0
∂f/∂y2 - ∂f/∂y3 = 0
が成り立ちます。

計算すると、
∂f/∂x1 = y1 - y2 - y3
∂f/∂x2 = - y1 - y2 + 3y3
∂f/∂x3 = - y1 + 2y2 - y3
∂f/∂y1 = x1 - x2 - x3
∂f/∂y2 = - x1 - x2 + 2x3
∂f/∂y3 = - x1 + 3x2 - x3
となり、これを４つの式に代入すると、

2y1 - 4y3 = 0
-3y2 + 4y3 = 0
2x1 - 3x3 = 0
-4x2 + 3x3 = 0

となります。
これに x1 + x2 + x3 = 1 と y1 + y2 + y3 = 1 を加え、
６変数で６つの式の一次連立方程式を解きます。
その結果、
x1 = 4/13 , x2 = 2/13 , x3 = 3/13 , y1 = 4/13 , y2 = 3/13 , y3 = 2/13
が得られます。

（申し訳ありませんが字数制限上、補足をお願いします。）

補足

長々とありがとうございます。

ここまでの計算の流れはわかりました。
また続きをお願いします！

回答No.2

kts2371148

なぜ＋αすると計算がうまくいくのか、
なぜ補足の線形計画問題を解けばよいのかについては、
私にはわかりません。
質問者さんの本を読めばたぶんわかると思うのですが、
そういうわけにもいきませんし…
満足な答えができなくてすいません。

でも、解いた結果のシンプレックス表は、

1x1 + 0x2 + 0x3 = 1/2
0x1 + 0x2 + 1x3 = 1/4
0x1 + 1x2 + 0x3 = 1/3

を表しています。
つまり、x1 = 1/2 , x2 = 1/3 , x3 = 1/4 です。

x1 + x2 + x3 = 13/12 ですから、x1,x2,x3 に 12/13 をかけると、

x1 ' = 6/13 ≒ 0.461
x2 ' = 4/13 ≒ 0.308
x3 ' = 3/13 ≒ 0.231

とすると、x1 ' + x2 ' + x3 ' = 1 となります。

どうもこの解は、
Ａさんは 6/13 の確率で選択肢１(1,-1,-1)を選び、
Ａさんは 3/13 の確率で選択肢２(-1,-1,3)を選び、
Ａさんは 4/13 の確率で選択肢３(-1,2,-1)を選べばよい
Ｂさんは 6/13 の確率で選択肢１(1,-1,-1)を選び、
Ｂさんは 4/13 の確率で選択肢２(-1,-1,2)を選び、
Ｂさんは 3/13 の確率で選択肢３(-1,3,-1)を選べばよい
ことを表しているようです。

実は、私は別の方法でこの問題を解いて、上記のことがわかりました。

もしＢさんが等確率で選択肢１，２，３を選ぶとすれば、
Ａさんは選択肢２を選び続けるのが最適です。
でも、Ｂさんはそのことがわかっていますから、
選択肢３を避け、選択肢１，２のどちらかを選ぶでしょう。
では、ＡさんとＢさんは、どの確率でどの選択肢を選べばいいのでしょうか。

Ａさんが選択肢１，２，３を選ぶ確率をそれぞれ x1 , x2 , x3 とします。
Ｂさんが選択肢１，２，３を選ぶ確率をそれぞれ y1 , y2 , y3 とします。
すると、…

この辺で字数制限に引っかかります。
分割投稿は禁止ですが、もし続きをお知りになりたいなら、
コメントして頂ければ回答できると思います。

補足

ありがとうございます！
表の意味が分かりました。

それから少し疑問に思ったのですが、

>x1 + x2 + x3 = 13/12 ですから、x1,x2,x3 に 12/13 をかけると、

のところは、逆数にしてからかけるということでいいのでしょうか？
この値がゲーム値ということになるのですか？

続きが気になるので、
よろしければぜひ解説をお願いします。

回答No.1

kts2371148

得点行列とは何でしょうか。
ＡさんとＢさんが対戦して、Ａさんが２番目の選択肢、
Ｂさんが３番目の選択肢を選択したら、
Ａさんが＋３点、Ｂさんが－３点になる、という意味で間違いないでしょうか。

それから、シンプレックス法は、制約条件と目的関数があり、
それを解いた結果が質問内容の表になっていると思います。
最初に立てた制約条件と目的関数を、式の形で書いて頂けないでしょうか。

補足

ＡさんとＢさんの得点のその意味で合ってます。
この行列のゲーム値と、ＡとＢの最適戦略を求めたいのです。
まぎらわしく書いてしまい、すみませんでした。

まず問題の行列の成分をすべて＋１しました。
解説によると行列の中を0以上なるように＋αすると計算がうまくいくと書かれていたので。
それを線形計画問題化したのが下です↓

２　０　０
０　０　４
０　３　０

２ｘ1＜＝１
４ｘ3＜＝１
３ｘ2＜＝１
ｘ1,ｘ2,ｘ3＞＝０の下で
ｚ＝ｘ1＋ｘ2＋ｘ3　
を最大にする

ちなみに縦の列ごとにｘ1,ｘ2,ｘ3と表しています。

そもそもこの考え方とやり方が合っているのかが不安ですが・・・
よろしくお願いいたします。