A∪（BーC）＝（ A∪B）ー （A∪C）ならば A=φの示し方

質問

お世話になります。
よろしくお願いします。

タイトルの通りですが、
『A∪（BーC）＝（ A∪B）ー（A∪C）ならば A=φ　（φは空集合）』
が示せずに困ってます。

やり方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#43297 · ベストアンサー

こんにちは。見ていらっしゃいますか？
対偶は下に書いていらっしゃる式で正解です。

さて、ではその対偶を書き下してみると、
Aに要素が存在すれば、集合A∪（BーC）と（ A∪B）ー（A∪C）が同じでない。という意味になります。

以下、証明の流れです。
Aに要素aが含まれるとすると、aはAに含まれるのでA∪（BーC）にも含まれる。
ところが、aは（A∪B）ー（A∪C）には含まれない。ということで、
集合A∪（BーC）と（ A∪B）ー（A∪C）は同じでない。

これを記号を使ってまとめてみてください。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

対偶で「否定文」ならば「否定文」という流れになり、
これはお手上げだろう、と思っていたのですが、

この後背理法を使うのですか。
思い付かなかったです。

x∈Aならばx∈A∪（BーC）
またx∈（A∪C）なので、xは（ A∪B）ー（A∪C）の元ではない。
したがってA＝φということですね。

noname#43297さんはもう退会されてしまわれたのですか？
ご覧になっておられると良いのですが・・・。
どうもありがとうございました。

jmhさんもありがとうございました。

回答No.8

kumipapa

＃７です。

両辺をＡの積をとるのが不自然に思えた・・・そう思うのが自然かも知れません。
自分で回答しておいてそう言うのも変なんですけどね。力不足？そういうことではないでしょう。

この問題の場合は、「両辺Ａの積をとる」というような解法（というほどのものではないけど）を経験したことがたまたまあって、式を見たら両辺Ａで積を取ればＡ＝φになるのが一目瞭然だったのでそうしてみようと思っただけ。もし一目瞭然でそれが見えなかったら、私もその方向では解かない。両辺Ａと積を取ってもＡ＝φが示せるという必然性は無く、Ａ＝Ａになるだけかもしれないし、Ａ＝Ａ∩Ｂが示せるだけかもしれない（Ａ＝ＡもＡ＝Ａ∩ＢもＡ＝φで成立しますね。しかし、「だからＡ＝φ」とはならない。）。その辺は、方程式を解くのとは違いますね。そういう必然性が無い方向に解法を求めるのが不自然と感じるのは、普通だと思いますよ。

一方、対偶なり背理法なりでｘ∈Ａとして・・・と解くのは、必ず解に辿り着くであろう考え方だと思いますから、パッと見て明らかでなければ、ちゃんと解くのが方向としては正解だと思いますよ。

お礼

再び大変貴重なアドバイス、ありがとうございます。

>この問題の場合は、「両辺Ａの積をとる」というような解法（というほどのものではないけど）を経験したことがたまたまあって、式を見たら両辺Ａで積を取ればＡ＝φになるのが一目瞭然だった

私にはこれが実力ではないかという気がします。
私の場合最後まで解き切るのが無理でも
「Ａ＝φ」を示すのがこの問題の方針なので、
『「A＝～」という形に持ち込めないか』という問題の基本姿勢までは
自力で気付くことができればなぁ、という気持ちです。

数学が得意な人は慣れやセンスで解法が浮かぶみたいですが、
凡人にはその解法に必然性が感じられないとマスターするのは難しいですよね。

この度は2度もご投稿どうもありがとうございました。

回答No.7

kumipapa

集合代数でやっつけるならば・・・

例えば・・・
Ａ∪(Ｂ－Ｃ）＝(Ａ∪Ｂ)－(Ａ∪Ｃ) が成立しているならば、両辺とＡとの積も等しい（Ｘ＝Ｙ ならば Ａ∩Ｘ＝Ａ∩Ｙ が成立する）から、
Ａ∩( Ａ∪(Ｂ－Ｃ) )＝Ａ∩( (Ａ∪Ｂ)－(Ａ∪Ｃ) )
両辺をそれぞれ展開すると、（右辺の展開に Ｘ∩(Ｙ－Ｚ)＝(Ｘ∩Ｙ)－Ｚ を利用）
左辺　＝ Ａ
右辺　＝ Ａ∩(Ａ∪Ｂ)－(Ａ∪Ｃ) ＝ Ａ－(Ａ∪Ｃ) ＝ φ　（空集合）
故に Ａ＝φ
としても良いのではないでしょうか。

質問者さんのお礼欄に書かれた
＞　x∈Aならばx∈A∪(B－C）
＞　またx∈（Ａ∪C）なので、xは（A∪B－（A∪C）の元ではない。
＞　したがってA＝φということですね。
も背理法で勿論ＯＫでしょう。左辺＝右辺が成立しているとき、x∈Aが存在したと仮定すると、ｘは左辺の元だが右辺の元ではないので矛盾。よってx∈Aは存在せずＡ＝φ
対偶も同様に、Ａ≠φ のときx∈Aが存在し、ｘは左辺の元だが右辺の元ではないので左辺≠右辺。よって、左辺＝右辺ならばＡ＝φ
ですね。

お礼

御礼が遅れてしまってすみません。
ご回答どうもありがとうございます。

これはまさに私の参考書に載っていたのと同じ解法です。

A＝Ａ∩( Ａ∪(Ｂ－Ｃ) )＝Ａ∩( (Ａ∪Ｂ)－(Ａ∪Ｃ) )

この式、すなわち「両辺とＡとの積をとること」が不自然に感じていたのですが、kumipapaさんがサラッとこの解法で解いているのをみて
参考書の解法が不自然に感じるのは私の力不足なのだと思いました。

なんとか私もこの解法を使えるように努力します。

>も背理法で勿論ＯＫでしょう。

ANo.4のpomnyanさんのお礼の所で、対偶の後、背理法を使うとか訳分かんないこと書いていました。
「対偶の背理法とは裏のことか・・・？」とか頓珍漢なこと考えてました。
ANo.4のお礼の解法は対偶そのものですね。

この度も背理法と聞いて、
「P→Q」を背理法で証明とは「￢P→￢Q」の矛盾を導くのかななどと思ってしまいました。
「P→Q」の否定は「P∧￢Q」だから「P→Q」を背理法で示すとは「P∧￢Q」の矛盾を導くことですよね？

あれ？「P→￢Q」の矛盾を導いてもいいのかな？

ちょっと区別が付かなくなってきたのでもう少し考えてみます。

この度はどうもありがとうございました。

回答No.6

jmh

> またx∈（A∪C）なので、xは（ A∪B）ー（A∪C）の元ではない。
> したがってA＝φということですね。
>
「したがってＡ∪(Ｂ－Ｃ)≠(Ａ∪Ｂ)－(Ａ∪Ｃ)」じゃなくって？
今、証明中なのは「Ａ≠φ⇒Ａ∪(Ｂ－Ｃ)≠(Ａ∪Ｂ)－(Ａ∪Ｃ)」です。

> その解答の解き方と全然違う…
>
その解答の解き方では、どうなっていますか？

補足

ちょっと調子を崩してしまい、ご返答が遅れてすみません。

私の問題集に載っていた模範解答はまさにANo.7のkumipapaさんの回答です。

A＝Ａ∩( Ａ∪(Ｂ－Ｃ) )＝Ａ∩( (Ａ∪Ｂ)－(Ａ∪Ｃ) )

私にはこの式をいきなり思い付くのは大変かと思ったのですが、ANo.7のkumipapaさんの回答を見るととても分かりやすいです。

回答No.5

pomnyan

下の回答をした者です。名前が、ずいぶん昔に登録したものだったので、これを機会に変更したのです。びっくりさせてすみません。

納得していただいてよかったです。お疲れ様でした。

お礼

おお～！退会されてなくて良かったです。
この度は本当にどうもありがとうございました。

これは問題集の問題なので、解答があるのですが、
（その解答が分かりづらかったので、投稿したのですが・・・）
その解答の解き方と全然違うのでびっくりです。

なんかいろいろな解き方がありそうなので、週末まで放置しましてから
締め切りをします。

どうもありがとうございました。

回答No.3

jmh

> 言われてみまして、対偶も考えてみましたが、
> 私には解けそうもありません。
>
じゃなくて、「対偶を補足してください」ってこと（何か書かないと削除対象になっちゃうの）。

補足

対偶とは
「A≠φならばA∪（BーC）≠（ A∪B）ー（A∪C） 」
ということですか？
この問題で対偶を取ると解きやすくなるのでしょうか？

回答No.2

tagaron

こんにちは。整数の問題等ですか？

A∩Cが存在しなければ証明も容易いですがそこはどうでしょう？

補足

いえ、集合位相の集合分野の問題です。

回答No.1

jmh

対偶は？

補足

言われてみまして、対偶も考えてみましたが、私には解けそうもありません。
対偶による解法でももちろん構いませんので、よろしくお願いします。