家賃の滞納であれば、退去を求められることはやむを得ないと思います。最終的に退去を求めるということは、裁判までしている以上、公団も譲らないでしょう。申し訳ありまんせが、そのことについて、私は適切なアドバイスができません。
でも、お住まいが公団住宅であれば、相手は、お役所ではなくても、お役所に準ずるような団体ですよね。
無茶なことを言い出す大家でないことは間違いありません。
そこで、「退去の時期」と「方法」を交渉することは、十分可能と思います。
私は、同様の事件の処理に携わった経験があります。
質問者さまのケースにたとえれば、「公団側」の立場だったわけです。
また「公団」のような立場の組織に勤めておりました。
その立場から思うのですが、ひょっとして、質問者さまは、これまで、公団側の催促に、ずっと応答してこられなかったのではないでしょうか。事前に、提訴や強制執行の予告などもあったはずですが。
「家賃を溜めてしまって、申し訳ない」というお気持ちは十分わかりますが、黙っていれば、伝わらないのです。一方の大家の側にしてみれば、こちらからアクションに何の応答もないというのは、大家の側としても、本当に困るのです。入居者の方からの応答がなければ、入居者の側の事情を考慮することなく、法律できまった順番に手続を進めざるを得ないからです。
今からでも、公団の担当者に連絡をして、すぐには退去できないという質問者さまのご事情を伝えるべきだと思います。
勇気を持ってください。
まして、公団は、前記したとおり「お役所に準ずるような団体」ですから、まったく聞く耳を持たないということはありえないのです。大丈夫ですよ。
私が同様の事件の処理に携わっていた当時にも、入居者側の事情をくんで、（強制執行のために手配した運送業者にキャンセル料を払ってまで）強制執行を延期したこともありますよ。
民間では考えられないでしょう。「お役所のような組織」だからこそ可能なのです。
退去の時期や方法については、まだまだ「交渉の余地あり」です。
なお、質問者さまの退去後の身の振り方については、私も＃１の回答者さまのご意見に賛成です。
その場合、適用になれば、引越し費用も支給になります。引越し先の当座の家賃や敷金・礼金も支給になることでしょう。
最低限、移転先が見つかれば、裏技的な方法ですが、荷物を運ぶ方法はないわけではないのです。
質問者さまは、大切なお子さまのお顔をもう一度ご覧になってください。
そのお二人のために、質問者さまはくじけてはいけないのです。
勇気をもって対処していただきたいと思います。
お礼
あたたかいご意見ありがとうございます。諦めることなく、もう少しがんばって生きていこうとおもいます。ありがとうございました。