人口の計算方法

質問

アメリカの人口が現在2億4000万人で、毎年１％ずつ増加しています。人口が現在の2倍に成るには何年掛かるでしょう？という問題なのですが、解き方がわかりません。地道に計算して70年で2倍になるってのはわかるんだけど、もっと数学的発想で解くには・・・・。だれか力を貸してください。お願いします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

[お詫びと訂正]
#1の扱いは誤りがあって，最初は0年目で1年後が1.01倍なので
公比r=101/100の等比数列の第ｎ項a_n=a_0*r^nが初項a_0(>0)の2倍になる
⇔　a_0*r^n=2a_0
⇔　r^n=2

すると答が1年ずれていて，n=69.66...=約70年
でした．お詫びして訂正します．

[補足]
ただし，上の方法は(初等的ではあるけれど)本当は正確ではなくて,

1年経つと突然1%増えて元の1.01倍になるのではなく，1年かかってじわじわ連続的に増えるので，そのような条件を表す微分方程式の解は指数関数になって
ｙ＝A*e^(t/T)
（ただしtははじめからの時間(単位は年)で，AとTは定数）
という形に書けます．
時間がないので略解を書くと
t=0でy=1とするとA=1と決まり，
t=1の時y=1.01
t=tの時y=2
とすると
1.01=e^(1/T)
2=e^(t/T)={e^(1/T)}^t
より
2=(1.01)^t
両辺の常用対数をとると
log_{10}2=t*log_{10}(1.01)
これより
t=69.66..(年)より約70年
こちらの方が正しいでしょう．

急ぎで書いたので，(さらに)誤りがあればご指摘下さい．

お礼

わーい。ちょっと難しいけど、なんとか理解できました。解答ありがとうございました。

回答No.1

oshiete_goo

現在の人口は必要なくて, 総人口が今の2倍になるというわけですから，
公比r=101/100の等比数列の第ｎ項a_n=a_1*r^(n-1)が初項a_1(>0)の2倍になる
⇔　a_1*r^(n-1)=2a_1
⇔　r^(n-1)=2

両辺の常用対数(底10)をとって
(n-1)log_{10}(101/100)=log_{10}2
あとはnの方程式と思って解けばいいんですが，log_{10}2＝0.3010...
はいいとしても，log_{10}(101/100)=log_{10}(1.01)=0.00432137...
n-1=69.66...より
n=70.66
つまり約71年という感じでしょうかね．
勿論，底はeでも何でも良いです．