排水量時間について

質問

ふとしたことで興味をもちましたので、どなたか教えて下さい。
お風呂の水が自然に排水溝から抜ける時間を知りたいのですが、どうやって計算したら答えを出せるか？
お風呂：200Ｌ（満水時の高さ500ｍｍとして）
排水溝の内径：50ｍｍ
また、50ｍｍで排水する事の出来る最大量（計算上）とかもわかる様でしたら、合わせてお願いします。

回答No.2

kenzou03 · ベストアンサー

これはベルヌーイ式から計算出来ます。静圧＋動圧＋位置エネルギーの合計が一定で状態１、２において次の式で表します。
p1＋1/2ρu1^2＋ρgH1＝p2+1/2ρu2^2＋ρgH2
1が浴槽の上で2が下のノズルと考えますと、P1=P2=P0（大気圧）で一定です。また、１の場所では流速U＝０です。また、簡単にするためH1-H2をH、u2=uとおくと1/2ρu^2＝ρgHとなります。これから出口での流速はU=√(2gH)です。これはボールをHの高さから自由落下させたときの速度に一致します。
次にノズルの面積は内径をdとすると断面積はA=(πd^2)/4となるので、流量Q＝uA＝(πd^2)/4×√(2gH)です。
次に浴槽の面積をBとすると浴槽中の水量はV=BHです。
微小時間Δｔで高さがΔHだけ減少したとすると、内容積の減少量＝BΔHで、その減少する割合はBΔH/Δtです。これが流量に等しいので、以下の方程式が成り立ちます。
BΔH/Δt=-Q＝Ｋ√H　ここでK=(πd^2)/4×√(2g)
この変数分離形の微分方程式を解いてHが0になるときのtを求めればこれが空になる時間となります。
非常に中途半端で申し訳ありません。
計算がちょっと複雑なので、高さが3/4、1/2、1/4になったときの流量を出してから累計しても大した誤差はないかも知れません。

ただし、排水する事の出来る最大量については√2gHに断面積を掛けたものです。実際には抵抗のため、これだけは流量係数があります。0.6や0.8など１以下の数値です。

お礼

ご丁寧な回答有難うございました。
また、急な出張の為、お礼が遅くれてすみませんでした。
　日常の出来事が、計算式で導けるのかといったものでしたが、すごく複雑ですが、それが可能なんですね。脱帽です。残念ながら、今は難しくて理解出来ないのですが、時間を掛けて調べながら解いてみようと思います。
本当に有難うございました。

回答No.1

N64

課題の丸投げは禁止事項です。それにこ答えることも禁じられていますが。
風呂空の瞬流出量は、
caSqrt(2gh)
で表されます。cは、流量係数、aは流出口の面積、ｇは重力加速度、hは、風呂の水位。この式は水位ｈのときの式なので、ｈ＝h1から、h=0までを積分すれば、排水に必要な時間が出ます。（ヒント：水位の時間的な変化は、流出の流量に比例する。）

お礼

ご回答有難うございました。
また、お礼が遅くなってすみませんでした。
質問は、課題とかではなくて、浴槽の排水を見ていて、
こんな日常の事象も計算で出来るのかな？と単に疑問に思った
ものですから、質問させて戴きました。
　そのようなレベルなので、ご回答戴いた内容も当方にとっては、
高度過ぎましたが、すぐにこの様な計算が出来るなんて、すごいですね。
本当に有難うございました。
（当方文系出で、40半ば）