どの解法を使えばいいのでしょうか？

質問

微分方程式である
d^2n(x) / dx^2 = ｛n(x) - a ｝/ L^2
の一般解が解りません。

n(x) を ｙとおき、ｙ"" - y = - a + L^2　と変形しました。
教科書を読んだのですが、同時方程式なのか非同時方程式のどちらなのか解りませんでした。

回答は
n(x) - a = C1exp(-x/L) + C2exp(x/L)
となるようです。

y = C1exp(-x/L) + C2exp(x/L) + a
になるということでしょうか？

ヒントだけでも頂きたいです。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

d^2n(x) / dx^2 = ｛n(x) - a ｝/ L^2 …(1)

y=n(x)
(L^2)y"=y-a
(L^2)y"-y=-a　…(2)
特解
y=a …(3)

同次方程式の一般解
(L^2)y"-y=0 …(4)
特性方程式
(L^2)s^2 -1=0
(Ls+1)(Ls-1)=0
s=±1/L
y=C1*exp(-t/L) +C2*exp(t/L) …(5)
(2)の解は
(3)と(5)の和で
y＝C1*exp(-t/L) + C2*exp(t/L) + a

従って(1)の解は
n(x)＝ C1*exp(-t/L) + C2*exp(t/L) + a

お礼

助かりました。ありがとう御座いました。

回答No.2

guuman

y=n(x)-a
とすれば
y"=y/L^2
である
y"-a^2・y=0
D=d/dtとすると
(D^2-a^2)・y=0
⇒
(D-a)・(D+a)・y=0
⇒
(D-a)・exp(-a・t)・D・exp(a・t)・y=0
⇒
exp(a・t)・D・exp(-a・t)・exp(-a・t)・D・exp(a・t)・y=0

これにより解を求め補足に書け

回答No.1

Tacosan

変形自体が間違ってるけど,
L^2 y'' - y = -a
だから, 特解の 1つがわかればそれと L^2 y'' - y = 0 の解との和で表現できる.