表、裏というのは、言葉通り表通りに面している方を「表さん」、ちょっと裏にある方を「お裏さん」と呼んだのが始まりだというふうに聞いています。特に仲が悪いとかそんなことは…ないんじゃないでしょうか。
お手前の違いについては、ウィキペディアに少しだけ載っていました。リンクを貼っておきます。「裏千家は薄茶をよく泡立てる」そうです。
私個人の印象ですが、表千家さん・裏千家さんはどちらも華やかできらびやかなイメージがあります。特に裏千家さんが一番進取の気風に富んでいる、というか、時代に沿って大胆に変わっていくような。政治的にも活躍しておられるようにお聞きします。
表さんは格式は高いけれど、お裏さんほど時代に乗ってはいない、と言う話も聞きました。
武者小路千家さんはやや落ち着いた感じ、藪内流はかなり渋い…というか侘び寂びの雰囲気を残しているような印象があります。お武家のお茶をなさっているのは藪内さんだけです。
以上、個人的な印象もありますので、多くの人に聞いてみることをおすすめします。京都の古い人とかに聞けばきっといろいろ教えてくれると思いますよ。
実際のお手前を見てみたいのなら、「見学したい」といえばどこでも気軽にお稽古に参加させてもらえると思います。
あとＮＨＫの趣味講座で、各流派を順番に放送しています。書店でテキストを見てみるのもいいかもしれません。
お礼
ご回答ありがとうございます。 表千家と裏千家は仲が悪いのか？とか、そんなアホな事を思ってました。（すいませんっ） 表千家と裏千家の大きな違いは何かあるのでしょうか？ お茶の立て方や、作法とか… もしご存知でしたら教えて下さい！！