上限に関する不等式について

質問

一般にある区間で有界な関数f(x),g(x)について、
sup(f(x)+g(x))≦sup f(x)+ sup g(x) ですが
等号は成り立たないのでしょうか？

具体的に試してみると、f、ｇが有界ならば成り立ちそうな気がするのですが。

sup f(x)+ sup g(x)≦sup(f(x)+g(x)) を示して、
よって等号が成り立つといいたいのですが,手も足も出ません。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

cabinessence · ベストアンサー

反例を挙げておきます。
区間[0,1]、f(x)=x、g(x)=-x と置くと、
sup(f(x)+g(x))=0,
sup f(x)=1,
sup g(x)=0,
よって、等号は成り立ちません。

お礼

ご回答ありがとうございました。手も足も出なかったはずでこのような反例があったのですね。

実は今、f(x),g(x)が[a,b]で積分可能であるとき、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxを、上限と下限の不等式を使って証明しようとして四苦八苦しているのですが、そのためにsup(f(x)+g(x))＝sup f(x)+ sup g(x) が言えたらいいなあということで質問させていただいたものです。上の定積分につきましてはもう一度別の画面で質問させていただきます。

すばやいご回答を重ねて感謝いたします。

回答No.3

zk43

f(x),g(x),f(x)+g(x)のグラフをいろいろ描いてみると
f(x),g(x)が同じxに対してsupになるとき、等号が成り立つのでは
ないでしょうか。正確な言い方ではありませんが、イメージとして。

お礼

おっしゃるとおり、いろいろ描いてみますとそのようです。証明できるかどうか一度チャレンジしてみます。貴重なご提示をどうもありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

f(x) = 1 (x>=0)
f(x) = -1 (x<0)
と
g(x) = -1 (x>=0)
g(x) = 1 (x<0)
という関数を考えます．

任意の実数xに対して
f(x)+g(x)=0
ですので sup(f+g)=0
一方，sup(f)=sup(g)=1 なので sup(f)+sup(g)=2
つまり，常に等号が成り立つとは限りません．
下限に対しても同様です．

お礼

ご回答ありがとうございました。手も足も出なかったはずでこのような反例を示していただきありがとうございました。

実は今、f(x),g(x)が[a,b]で積分可能であるとき、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxを、上限と下限の不等式を使って証明しようとして四苦八苦しているのですが、sup(f(x)+g(x))＝sup f(x)+ sup g(x) が言えたらいいなあということで質問させていただいたものです。これにつきましてはもう一度別の質問画面で質問させていただきます。

すばやいご回答、どうもありがとうございました。