> 単に「”桁数”で見切って処理する」というやり方は、
> 理論的に間違っているのではないでしょうか？
とりあえず乗算の有効桁数について，少し大雑把な証明をしてみます．
(精確・厳密ではありません．)
ある数値 Ｘ (真値) を四捨五入して有効数字ｍ桁に丸めた値を Ｘ' とする．
乗除算の有効数字なので，考えやすいように Ｘ' の指数部を無視し，
仮数部だけを取り出して 1 ≦ Ｘ' ＜ 10 と仮定しても一般性を失わない．
Ｘ' に対する真値Ｘの範囲は，四捨五入の意味を考えると，
Ｘ' - 5 * 10^(-m) ≦ Ｘ ＜ Ｘ' + 5 * 10^(-m)．
真値に対する相対誤差 (Ｘ'/Ｘ － 1) は次のようになる．
-5 * 10^(-m) / Ｘ ＜ Ｘ'/Ｘ － 1 ≦ 5 * 10^(-m) / Ｘ．
したがって相対誤差の範囲は約 ±5 * 10^(-m)．
同様に別の数値 Ｙ (真値) を四捨五入して有効数字ｎ桁に丸めた値を Ｙ' とすると，
その相対誤差範囲は約 ±5 * 10^(-n)．
したがって積 Ｘ' * Ｙ' の相対誤差範囲は
約 ((1 ± 5 * 10^(-m)) * (1 ± 5 * 10^(-n)) － 1)．
この最大値は，ｍ≠ｎならば約 ±5 * 10^(-min(m, n))，ｍ＝ｎならば約 ±10^(1-m)．
後者の場合は，有効数字ｍ桁目に±１の誤差を含むことになり，
それ以下の桁は全く信用できません．したがって有効桁数はｍです．
前者の場合は，有効数字 min(m，n)＋1 桁目に±５の誤差を含むことになり，
この桁以下は全く信用できません．したがって有効桁数は min(m, n) です．
お礼
度々のご回答有難うございました。 この場を借りてお二方にお礼を申し上げます。