微分と偏微分の違いを明快に教えてください

質問

話は私が悪解答（もうしません）を書いた質問
に遡ります・・・このアドレスになります：

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?qid=255221

　ヤコビアンを習ったときに「絶対使うから」と
念を押す場合も多いです（本当に使います）が、
一度くらいは忘れることでも定評があります。
　　（あれ？　どっちがどうだったかな？）
　これは本質的により高レベルの内容を前提抜き
で放り込むためです（分数も、分数は単位の変換
操作などが含まれ、位取りに似た概念です）。

　関数行列式（ヤコビアンもその一種）について
　これは関数の線形性を巧妙に利用して、簡便に
使用できるようにする、非常に便利な道具です。
―これはイデアルを習うころには理解できます―
　『ヤコビアン』は使用頻度も高いものですが、
意味を理解して使うには、例えば他の方法の問題
点を明快に指摘できる水準が必要なので、教科書
を読めば誰でも身につくわけではありません。
　私が挙げた解釈は、間違いの例として、参考書
などでも結構紹介されてはいますが、その参考書
でさえ「どこがどう間違いなのか？」をちゃんと
指摘できているとは言い難いものも見られます。

　この手順を踏むと違う答えになるから間違いと
明快に示していて『良回答』評価も当然ですが、
挙げられた微分と偏微分の差は重要なので、また
ＯＫｗｅｂのスペースを割かせていただきます。
（自分のポイントを確認したら結構あったので、
―感謝―便乗して良い説明を受け取ってしまうと
いった悪行三昧は今後控えさせていただきます）
　　　　つきましては、
　偏微分と微分の違いを、（教科書風の）定義や
計算法の違いでない明快な解説でお願いします。
　私は読むと胸のつかえが取れるような、明快な
説明に飢えてます（知識を詰め込むのでなく）。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．
http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?qid=255221
ではちょっと表現に過激(？)なところがあって，大変失礼しました．

> 　偏微分と微分の違いを、（教科書風の）定義や
> 計算法の違いでない明快な解説でお願いします。

通常の一変数の微分でしたら，独立変数の変化の仕方は決まっています．
数直線上を動くのですから，(正方向，負方向は別にして)変化の方向は決まっています．
ところが，独立変数が二つ(以上)ですと変化の方向は無限にあります．
例えば，x を変化させるといっても，y 一定で変化させるのか(これが普通ですが)，
y/x 一定(極座標のθ一定と同じ)か，x^2 + y^2 一定(極座標の r 一定と同じ)か，
いくらでもあります．
本来，偏微分の際は何を一定に保ったかを
(∂f(x,y)/∂x)_y のように添字で書くのですが，
独立変数の組のうち他の変数を一定に保った場合は省略してしまうのが普通です．
偏微分が関係する式を変形するときにはいつも「何を一定に保っているか」に注意
しないといけないわけで，そこが一変数の微分との大きな違いではないでしょうか．

２次元極座標と直交座標で ∂r/∂x = 1/(∂x/∂r) などとしてはいけないわけです．
左辺は暗黙の了解で y 一定ということですが，
右辺の ∂x/∂r は暗黙の内にθ一定です．
もちろん，両辺で一定に保つものを同じにすれば大丈夫ですけれどね．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=162840
の回答もご覧ください．

x,y,z の間に関数関係があるときには
(∂x/∂y)_z (∂y/∂z)_x (∂z/∂x)_y = -1
という面白い関係式があります．
添字のことに注意せず分母分子が約せるよう思ってしまうと答は１になりますが，
そうならないところが面白いところです．
私はこの式を最初にみたとき(大学１年のとき)，
１にならないことに大変おもしろいというか不思議というか，そういう感じを受けました．
学生への講義でこの式が出てきたときには
「不思議に思わないか？」
と聞くのですが，あまり反応がありません．
学生は「何を一定に保っているか」の重要性をきちんと理解していて，
「当然でしょう」と思っているわけではないようです．

何を一定に保ったかが非常にシビアになるのが熱力学です．
熱力学では圧力 p，体積 V，絶対温度 T，が独立変数のような顔をしていますが，
これは３つは独立ではありません．
例えば，n モルの理想気体では pV=nRT ですから，２つしか勝手に選べません．
したがって，V で偏微分といっても，p 一定か， T 一定かで話が違い，
暗黙の了解はありません．
こういうわけで，熱力学では常に添字で何を一定に保ったかを明示しています．

お礼

ありがとうございます！　「値が一定」
が大切だと読んだことがあるはず…確か…
エミー・ネイターが証明した対称性と力の
関係が、ゲージ理論で明確になったとか…

http://www-jlc.kek.jp/general/DOC/oho95-html/node2.html

…変化しない部分が大切なのにすぐ忘れる、
これが私が力学を苦手とする原因なのかも
（宇宙の動因が保存則かも知れないのに）。

　追伸：もうわざと間違えての便乗質問は
しません、自分で真面目に質問します。

　追伸２：ＯＫｗｅｂで出たＬｉｅ微分は
どの要素同士が直交（独立）や依存関係で、
どんな変換で何が保存されるのだろう？　
　微分多様体は色々便利な性質を保つ拡張
らしいけど（線形性とか便利だし…）。
　↑の関係の質問は…どうしよう？

　わかったか怪しいｓｈａｄｏｗｏｒｋｓ