相対性理論 二つのロケットの問題

質問

相対性理論の過去門なんですが、難しくてよくわかりません。どなたか教えてください。

互いに逆向きに飛ぶ二つのロケットA,Bが、相対速度V=0.8ｃですれ違う瞬間に、相手を攻撃しようとしている。この二つのロケットはいずれも静止しているときの長さがL＝10ｍで、最後尾にのみ銃が取り付けられている。また、ロケットは互いに十分接近した地点をすれ違うので、発射された弾があたる場合は、瞬時にあたるとする。
　Aは、自分の先端がBの後端に一致した瞬間に弾を発射した。Aの立場からはBが収縮しているとみなせるので、弾は外れるとAは予想した。一方、Bの立場からはAが収縮しているとみなせるので、弾は自分にあたるとBは予想した。これらの予想はどちらが正しいのか理由も含めて説明せよ。

自分なりに考えてみたんですが、「Aの先端とBの後端が一致した瞬間」とあるのでここを基準として、収縮が起こる。また「相対速度V」は相手が等速度Vで移動して、自分は静止しているとみなす。この二つを考えるとどちらの予想も正しいように思えます。いったいどのように考えればよいのでしょうか？どなたか教えてください。

回答No.5

noname#175206 · ベストアンサー

No.1です。ありゃ、ちょっと訂正です。

>次にBで同時刻とすると、計算すると、Aの長さが伸びました。よって弾はあたらない。

BからAをみると、Aは縮んでいますよ。質問者様が、

>Aでの先端と後端の時刻を等しいとすると、Bでの先端と後端の時刻が異なる。

と考察なさったのと同様に考えましょう。
Bからみても、Aの時刻あわせされた時計は先端と後端では、時刻が異なる。
だから、Aから発射される時刻がとち狂ってしまっていて、Bのいないときに発射される。と言ったところでしょうか。

回答No.6

shiara

No3です。
>次にBで同時刻とすると、計算すると、Aの長さが伸びました。
　No5の方が指摘されている通り、Ｂから見てもＡは縮んでいます。Ｂから見ると、Ａの先端がまだＢの後端に達しないうちに、Ａの後端から弾が発射されたことになります。この発射場所だけ見ると、Ｌより長いので、これをＡが伸びたと考えられたのでしょうか。弾を発射した後、Ａは速度Ｖで近づいてきて、Ａの先端がＢの後端に達します。この間にＡの先端が進んだ距離は、Ａが縮んだとして求めた距離になります。

回答No.4

noname#175206

No.1です。

>最終的な答えとして、Bの予想が間違っていたということになりました。あってますか？

素晴らしい。補足要求ひとつで正解に到達されたのですね。
ちなみに特殊相対論のパラドクス（的なもの）は、同時刻の相対性に関わるものが多いです（有名な「双子のパラドクス」もそうです）。

回答No.3

shiara

Ａにとって、弾を発射した時刻と、Ａの先端がＢの後端に一致した時刻は同時です。では、Ｂからはどう見えるでしょうか。Ｂの後端とＡの先端が一致した時刻と、Ａが弾を発射した時刻は同時でしょうか。そこを考えてみましょう。

回答No.2

noname#24129

難しくありませんよ。

この２つの慣性系は、互いに同等なので、同等の観測がなされるはずですね。

Ａ1「自分の先端が相手の後端に一致した。自分の後端は相手の先端より後方にある」
Ｂ1「自分の先端が相手の後端に一致した。自分の後端は相手の先端より後方にある」

これらの観測のうちいずれが先に行われるか判断する根拠がありませんね。相対性原理によって、同時に観測されねばならないのではないですか。
そうだとすると、Ａ1の観測をしてＡが予想したことは正しいと思えます。

一方、Ｂのほうはどうでしょうか。Ｂ1の観測をして、わずかな時間の後、
「相手の先端が自分の後端に一致した。相手の後端は自分の先端より後方にある」と観測するはずです。

しかしこのとき、銃はすでに発射された後なのです。したがって、Ｂの判断は予想とさえいえませんね。過去のことを現在に持ち込んでいることが誤りなのではないでしょうか。

回答No.1

noname#175206

質問者様は「同時刻の相対性」は習得済みですか？
この問題にも同時刻の相対性を、どのように考慮されましたか？

補足

同時刻の相対性、考慮してませんでした。Aでの先端と後端の時刻を等しいとすると、Bでの先端と後端の時刻が異なる。計算するとBの長さが収縮し、弾はあたらない。次にBで同時刻とすると、計算すると、Aの長さが伸びました。よって弾はあたらない。最終的な答えとして、Bの予想が間違っていたということになりました。あってますか？