円とドルの往復の際、平均レートで処理するとなぜ損になるのか

質問

どうも数字に弱いので、どなたかこの疑問に答えていただけると幸いです。
米国への海外出張の際、現地での現金払いは、円からドルに換金した時と、ドルから円に戻した時のレートの平均値を取り、海外で使ったドルを円に換金して支払う、てな決まりが現在あるのですが、前回の収支を見ると、明らかに出張者が損します。なぜなんでしょうか。（そんな方法を採用している自体バカじゃないかというのは置いておいてください、、、）
例　20,000を円からドルへ　レート：１ドル200円としてドルは100ドル
海外で50ドルを使用
残りの50ドルを円へ　レート：１ドル100円として円は5,000円
（マーケットレートがあまり変わらない場合、円に戻す方がレートが悪いのでこういう想定にしました）
レートの200円と100円との平均は150円
海外で使用した50ドルを１ドル150円で換算すると7,500円
しかし、実際は20,000円持って行って返ってきたのが5,000円だから使用したのは15,000円で、7,500円しかもらえなかったら7,500円損する。
この差が出るのは
1.　そもそも使った50ドルは200円で買ったドルなのだから、価値は10,000円。7,500円としか評価されなければ2,500円の損
２．返ってきたドルも、100円なのに150円と過剰評価されているので１ドル当たり50円損していて合計2,500円の損

でもこの２つの損を合計しても、5,000円の損であって、実際損した7,500円にならないのは何でなんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

＞２．返ってきたドルも、100円なのに150円と過剰評価されているので１ドル当たり50円損していて合計2,500円の損
これがおかしいのでは．
返ってきたドルは，１ドル200円で買ったものなのに，１ドル100円になったしまったら，１ドルあたり100円損なんで，合計5000円の損ですね．２．は会社は無関係なんで，150円という数字は関係ないです．

お礼

そう言われてみるとそうですね。ありがとうございました！

回答No.1

ebinamori

まっさらな状態で考えてください。

円高になった場合（1ドル＝200円→1ドル＝100円）は元々円→＄→円と換金すると損をします。
20000円をドルに換金すると100ドル
円高になったときに円に換金すると10000円
10000-20000=-10000
つまり10000円損しています。
（円高になるということはそういうことです）
次に海外でお金を使ってきた場合を考えます（50ドル使う）
100ドルに換金するまではいいと思います。
次に50ドル使います。手元には50ドルあります。
50ドルを円高になったときに円に換金すると
50×100＝5000（円）
そして救済措置（円からドルに換金した時と、ドルから円に戻した時のレートの平均値を取り、海外で使ったドルを円に換金して支払う）による
返ってくるお金が
為替の平均が150円なので
50×150＝7500円
先ほどの換金したお金と足して
5000+7500=12500
で元のお金が20000なので
12500-20000=-7500
7500円の損ですみます。
ここでただ換金だけした場合の損益と比較すると
元々10000円損するはずだったのが救済措置のおかげで7500円の損で済み2500円の得になっているのです。（ここまでOKでしょうか？）

円安になった場合（1ドル＝200円→1ドル＝300円）に円→ドル→円と換金した場合は得をします。
20000円をドルに換金すると100ドル
円安になったときに円に換金すると30000円
30000-20000=10000
つまり10000円得しています。
次にお金を使った場合ですが（50ドル使う）
残りの50ドルを円に換金すると
50×300＝15000
そして救済措置で帰ってくる金額が（この場合平均レートは1ドル＝250円）
50×250＝12500
足すと27500円
元のお金が20000円なので
27500-20000=7500
つまり10000円得するはずだったのが7500円の得にしかならず
2500円損することになります。

まとめるとこの救済措置だと円→ドル→円と換金する場合
円高の時対象者は得をし円安の時対象者は損をします。

ここでより一般化して証明します。
まず、それぞれの値に文字を当てはめます
a:元金（円）
s:出国時のレート（1ドル＝r1円）
t:帰国時のレート（1ドル＝r2円）
p:海外で使った金額（ドル）
ここで２つの条件を定義します。
１．a,p,s,tは全て正の数です:a>0,p>0,s>0,t>0
２．a,pについては定数であり、s,tは変数です。
（それぞれ前述した物に当てはめて考えてください。為替は二つの例で変動していますが元金と海外で使った金額は変わっていません）

では先ほど挙げた例を文字を用いて表現します。
（円高や円安についてはとりあえず無視します）
まずただ円→ドル→円と換金した場合日本円でになるかを文字を使って表現すると
(a/s)*t(円）・・・(1)
となり、次に海外でお金を使ってきた場合日本円でいくらになるかを文字にすると
ドルに換金すると
a/s（ドル）
使った金額がpなので
a/s-p(ドル）
これを円に換金すると
(a/s-p)*t(円）・・・(2)
また、救済措置について文字にすると
p*(s+t)/2(円）・・・(3)((s+t)/2はレートの平均を出しています）
手元にあるお金は(2)＋(3)で
(a/s-p)*t+p*(s+t)/2・・・(4)
買い物をした場合としない場合の日本円を比較することにより
その損益を考えるには(4)-(3)をすればよい
(a/s-p)*t+p*(s+t)/2-(a/s)*t（円）
式をs,tについて整理すると
⇔at/s-pt+ps/2+pt/2-at/a
⇔-pt+ps/2+pt/2　　（元金が消えましたね）
⇔s*(p/2)+t*(-p+p/2)
⇔s*(p/2)+t*(-p/2)
⇔s*(p/2)-t*(p/2)
⇔(p/2)*(s-t)（円）・・・(5)
となります。
ここで円高、円安について考えると先ほど挙げた条件1,2が生きてきます。
どういう事かというとpは正の数の定数なので
(p/2)はpを条件1，2を満たすどのような定数にしようと正になります。
つまり（s-t)が正になろうが負になろうが符号は変わりません。
さらに詳しくいうと
(s-t)が正の場合とはs>tなので円高になった場合で
(5)の値も正になり、救済措置により得をすることになり
(s-t)が負の場合とはs>tなので円安になった場合で
(5)の値も負になり、救済措置により損をすることになります。

さらにいうと
(s-t)が正の時（円高）はｐつまり海外で使ってくるお金が多ければ多いほど得をすることになります。
逆に(s-t)が負の時（円安）はｐつまり海外で使ってくるお金が多ければ多いほど損をすることになります。
それぞれ損益がいくらになるか(5)の式に値を当てはめれば分かります。
前述した例を当てはめると海外で50ドル使い出国前のレートが200円で帰国後のレートが200円のとき
(50/2)*(200-100)=2500円
海外で50ドル使い出国前のレートが200円で帰国後のレートが300円のとき
(50/2)*(200-300)=-2500円

最後に、この救済措置はよりリスクを軽減するための措置と考えられますね。（ローリスク・ローリターン）
わかりやすく書いたつもりなんですけど
分からないところがあれば補足します。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございました。