Cantorの対角線論法って変ではないですか?
実数全体の集合Rは可算ではない。
の証明なのですが
「I=(0,1)の全ての数を{a_1,a_2,…}のように番号づけれたと仮定する。
尚,0.237は0.236999…と展開する事にする。
a_1=0.a_11a_12a_13…
a_2=0.a_21a_22a_23…
a_3=0.a_31a_32a_33…
:
ここでa_ijはi番目の実数a_iの少数j位の数字(0,1,…,9)である。
そしてb=0.b_1b_2b_3…b_n…を
b_1=
1 (a_11が偶数の時)
2 (a_11が奇数の時)
b_2=
1 (a_22が偶数の時)
2 (a_22が奇数の時)
この時,このbはどのa_1,a_2,…とも一致しない」
という証明法ですがここで疑問があります。
a_1=0.a_11a_12a_13…
はa_11,a_12,a_13,…夫々が0から9までの数字なので
a_1は10^∞通りの数を表している事になりますよね。この時点で既に番号付け出来ていないと思います。
番号づけ出来ていないのに番号付けできたと仮定して
そしてどのa_1,a_2,a_3,…とも一致しないb=0.b_1b_2b_3…b_n…が採れる。
だから番号付けできないとは何とも奇妙に思うのですが。
どうしてa_1ですら10^∞通りの数を表していて番号付け出来ていないのに番号づけできたと言えるのでしょうか?
お礼
ご回答ありがとうございます。勉強になりました。(^_^)