確率変数の問題で…

質問

２つの確立変数X,YがN(μ1,σ2)、N(μ2,σ2)に従うものの時、(μ1＞μ2)これらX,Yを足したものZ1と引いたものZ2の平均値μ、分散σ2はやはりそれぞれをただ単に足しただけなんですか？あと、それをグラフにするならどんな感じになるのか想像が付かないので教えてください!!

回答No.2

betagamma

ちょっと詳しい教科書なら、載っていると思いますが・・・基本的には、その通りです。

X~N(μ1,σ1^2), Y~N(μ2,σ2^2)の時、
X+Y~N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)
です。
グラフにすると、ですか。とても直感的な説明を言います。
正規分布は山形ですね。山の中心も、なだらかさも違う二つの正規分布を足すと、山が二つある分布ができる気が、直感的にはしますね。
ところが、
X+Y~N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)
この式は、直感的な予想に反して、どんな山形の正規分布を二つ足しても、足した結果の分布は、山が一つにしかならないことを意味しています。
これは、正規分布だけの性質で、一般には成り立ちません。
証明の方法は、いくつかあると思いますが、畳み込み（積分）を使って、素朴に証明したり、特性関数から、ラプラス変換やフーリエ変換の知識を使って証明したりするんだと思います。
いずれにしても、これを証明しようとすると大変な割に、その知識が、それほど使えるわけでもないので、普通の大学の講義では、証明しないことも多いと思います。

あ、あと、
Y~N(μ2,σ2^2)のとき、-Y~N(μ2,σ2^2)ですから、
X-Y=X+(-Y)~N(μ1-μ2,σ1^2+σ2^2)
です。

回答No.1

ymmasayan

厳密でない説明をします。
２本の棒を組み合わせることを考えます。
長さの平均がモトの２つの棒の長さの和又は差になることは容易に想像できます。
分散は和になります。
Ａの大小とＢの大小の４つの組み合わせだけ考えます。
和のとき：大＋大＝２、大＋小＝０、小＋大＝０、小＋小＝２
差のとき：大－大＝０、大－小＝２、小－大＝２、小－小＝０
で同じになります。分散は2^2＋2^2＝８
Ａだけ考えると４ケース
大＝１、大＝１、小＝１、小＝１で分散は４です。Ｂも同じです。

４＋４＝８なんですね。

グラフは結果の平均と分散を持つ正規分布となります。