答え合わせ
実数p,q,r,sが
p^2-qr=q^2-rs=r^2-sp=s^2-pq≠0
を満たすとき
p+q+r+s
の値を求めよ
という問題の私の答えは以下の通りです.あっていますでしょうか?
実数p,q,r,sが
p^2-qr=q^2-rs=r^2-sp=s^2-pq≠0
を満たすとき
p,q,r,sの中に0でないものがある
それをpとするように変数名を入れ替える
p≠0
a=q/p
b=r/p
c=s/p
とすると
q=pa
r=pb
s=pc
p+q+r+s=p(1+a+b+c)…(1)
p^2(1-ab)=p^2(a^2-bc)=p^2(b^2-c)=p^2(c^2-a)≠0
1-ab=a^2-bc=b^2-c=c^2-a≠0…(2)
1-ab=a^2-bc
bc=a^2+ab-1…(3)
(2)から
1-ab=b^2-c
c=b^2+ab-1…(4)
↓これを(3)のcに代入すると
b(b^2+ab-1)=a^2+ab-1
a^2+ab-1=b^3+ab^2-b
a^2+ab(1-b)-b^3+b-1=0
a^2=ab(b-1)+b^3-b+1…(5)
(2)から
c^2-a=1-ab
c^2=a+1-ab
↓このcに(4)を代入すると
(b^2+ab-1)^2=a+1-ab
(ab+b^2-1)^2+ab-a-1=0
b^2a^2+(2b^3-b-1)a+b^4-2b^2=0
↓これに(5)を代入すると
b^2{ab(b-1)+b^3-b+1}+(2b^3-b-1)a+b^4-2b^2=0
(b-1)(b+1){(b^2+b+1)a+b^2(b+1)}=0…(6)
(b^2+b+1)a+b^2(b+1)=0と仮定すると
(b^2+b+1)a=-b^2(b+1)…(7)
a^2(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
↓このa^2に(5)を代入すると
{ab(b-1)+b^3-b+1}(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
b(b-1)a(b^2+b+1)^2+(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
↓このa(b^2+b+1)に(7)を代入すると
-b^3(b+1)(b-1)(b^2+b+1)+(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^3(b+1)(b^3+b^2+b-1)
b^4+b^3+b^2+b+1=0
となる実数bは存在しないから
(b^2+b+1)a+b^2(b+1)≠0だから(6)から
∴
b=±1
b=1の時(5)から
a^2=1
a=±1
a=1と仮定すると
1-ab=0
となって1-ab≠0(2)に矛盾するから
a=-1
↓これとb=1を(4)に代入すると
c=-1
↓これとb=1,a=-1を(1)に代入すると
p+q+r+s=p(1+a+b+c)=p(1-1+1-1)=0
∴
p+q+r+s=0
b=-1の時
↓これを(4)のbに代入すると
c=-a
↓これとb=-1を(1)のc,bに代入すると
p+q+r+s=p(1+a+b+c)=p(1+a-1-a)=0
∴
p+q+r+s=0
お礼
既婚者であることが判明しました。 ありがとうございました。