ラッセルのパラドックスでのx ∈/ xはどういう意味?

質問

宜しくお願い致します。

ラッセルのパラドックスというのを知りました。

『条件C(x)を満たすxの集合,{x|C(x)}はC(x)の対して一意的に定まる。
この集合をYと書く事にすれば任意のxに対してx∈Y⇔C(x)が成立つ。
今、C(x)として x∈/x を採れば集合{x|x∈/x}とする時、…』

と記載されているのですが
「x∈/x」の意味が分かりません。
"∈"の記号は片方が元で片方が集合でないといけないと思うのです。
「x∈/x」は双方とも元なのでこの記号は無意味に思えるのです。
「x∈/x」はもしてして「x∈/{x}」の意味なのでしょうか???

回答No.2

take008 · ベストアンサー

> それで自分自身を含まない集合の集合をXとすると
> X∈XならX∈/Xでなければならないし、
> X∈/XならX∈Xでなければならないという矛盾がはっせいしますね。

矛盾するということは，何かがいけないわけですが，
「集合の全体Ｕが集合である」と仮定したのがいけないのです。
もっと追求すると，ｘ∈ｘ となるｘは集合として認められないということになります。
このことは，次のように説明できます。
　「ｘはどんな集合か？」と訊かれたら，「．．．のような要素を集めたもの」と答えますが，その中にｘ自身があると，「そのｘはどんな集合か？」となり，循環論法に陥ってしまい，ｘをきちんと定義できないからです。

お礼

詳細なご説明有り難うございます。

おかげさまで納得です。

回答No.1

take008

たとえば，集合Ａのべき集合Ｐ(Ａ)はＡの部分集合を要素にもつ集合です。
Ａ∪Ｐ(Ａ)∪Ｐ(Ｐ(Ａ))∪…
の要素はいろいろな集合ですね。

集合全体Ｕが「集合である」とすると Ｕ∈Ｕ であり，Φ∈/Φ なので，
Ｖ＝{ｘ｜ｘ∈ｘ} と Ｗ＝{ｘ｜ｘ∈/ｘ} の２種類に分類される。
……
と続いていきます。

お礼

> たとえば，集合Ａのべき集合Ｐ(Ａ)はＡの部分集合を要素にもつ集合です。
> Ａ∪Ｐ(Ａ)∪Ｐ(Ｐ(Ａ))∪…
> の要素はいろいろな集合ですね。
> 集合全体Ｕが「集合である」とすると Ｕ∈Ｕ であり，Φ∈/Φ なので，
> Ｖ＝{ｘ｜ｘ∈ｘ} と Ｗ＝{ｘ｜ｘ∈/ｘ} の２種類に分類される。
集合全体の集合は、、、なるほど、自分自身も含みますよね。

それで自分自身を含まない集合の集合をXとすると
X∈XならX∈/Xでなければならないし、
X∈/XならX∈Xでなければならないという矛盾がはっせいしますね。

どうもありがとうございました。おかげさまで納得できました。