定額返済の方程式

質問

事前にお断りします。ここでは、2の3乗は8であることを2￥3=8と表すことにします。

本題です。
ローン返済（複利）において、毎月一定額を返済する場合の方程式は次のように表します。

m=ArX/(X－1)、但しX=(1+r)\n
m：毎月の返済額、A：ローン金額、r：月利、n：返済月数

上の方程式によれば返済を始める頃の利息は少なく、月数が大きくなるに従って利息が多くなっていきます。

一方住宅ローンの返済はその逆で月数が小さい利息は多く、月数が大きくなるに従って利息が少なくなっていきます。

お尋ねしたいことは住宅ローン返済のように、開始時期は利息が大きく終了時期に近くなるに従って利息が少なくなっていく方程式です。よろしくお願いします。

回答No.2

wuzuo · ベストアンサー

まず最初に質問にあった式
（エクセルなどで直接利用できるように「\」を「^」に変更、「*」追加）

m=A*r*（1+r)^n/((1+r)^n－1)

m：毎月の返済額、A：ローン金額、r：月利、n：返済月数

この式の意味を理解しているでしょうか。
nは経過月数ではなく返済回数です。
つまり３５年ローンならn=420となり、
月数が多い（＝期間が長い）と総支払い額（=m*n）が大きくなります。

次に金利を計算する方法は

一月前のローン残高×月利＝支払う金利

で、計算することが出来ます。

これは一月前のローン残高は年金原価係数で計算できますので
これを上記の式に当てはめると

支払う金利＝m*((1+r)^(n-N+1)-1)/(r*(1+r)^(n-N+1))*r
=A*r*(1+r)^n/((1+r)^n-1)*((1+r)^(n-N+1)-1)/(r*(1+r)^(n-N+1))*r
(N：何回目の返済、５回目ならN=5)

以上のようになります。
n,N,r,Aの各係数をセルに置き換えて計算すると計算がしやすいですよ。

ちなみに金利の割合は、

金利の割合＝支払う金利/毎月の返済額
=((1+r)^(n-N+1)-1)/(r*(1+r)^(n-N+1))*r

となります。

お礼

nは経過月数ではなく返済回数であることは理解したうえで質問しました。

ご回答いただいた方程式を検算しましたところ、私が求めていた結果とピタリ一致しました。

ところで私は初めて「年金原価係数」なる用語を知りました。
早速Googleで「年金原価係数とは」で検索すると結果はゼロでした。「年金原価係数」で検索すると22700もあるのに。
つまり簡単には説明できないような用語のようですね。

ちなみに調べているうちに「年金現価係数」なる用語もあり、それがまた「(1+r)^n」を使っているので混乱してしまいます。
なぜ混乱するかといいますと、それらの説明文に原価と現価が混用されている（ワープロの漢字変換ミスが殆どだと思いますが・・・・）ように感じられ、浅学の私には区別できるだけの能力がないからです。

お陰で方程式はわかりました。この質問コーナーでの目的は終えたのですが、もしご存知なら平易に解説されている「年金原価係数」のWebページを教えていただけませんでしょうか？

回答No.3

wuzuo

こんにちは、
まず最初に、残念ながら簡単に説明されているwebは知りません。

次に「原/現」の問題ですが、
教科書的に言えば年金「現」価係数が正しく
私の場合はただの打ち間違いです。

ただ、他の人には
年金の総額から現在の価を求めるので
年金「現」価係数
年金の総額から原資となる価を求めるので
年金「原」価係数
と分けている人がいるかもしれません。
（ここでの年金とは一定の間隔、金額で一定期間もらう事です）

内容はどちらも同じで、
一定の期間（=一定の間隔×「n」回)、毎回「m」受け取りたい、
このとき金利が「ｒ」だとすると元手「A」がいくら必要か？
という原資「A」の値を求める式で、

A=m*((1+r)^n－1)/(r*（1+r)^n)

（A=年金の原資/ローンの残高、r＝金利、n=受取/支払回数、m=受取/支払額）
と表されます。
このときのAの意味は、貸す方では年金の原資、借りる方ではローンの残高になります。

ただ、この式は最初の質問の中にある毎月の返済額を求める式を変形するだけですよ。

m=A*r*（1+r)^n/((1+r)^n－1)
A=～の形に変形すると
A=m*((1+r)^n－1)/(r*（1+r)^n)

回答No.1

tottemoyoi

ご質問の回答とは違いますが、
私はエクセルの関数で計算していました。(ただ住宅ローンの場合は、たぶん日割り計算だったので微妙に違ってましたが）
月の返済金額は、ＰＭＴ
月の利息金額は、ＩＰＭＴ
月の元金金額は、ＰＰＭＴ　を使います。
利率は、年利÷１２、期間は返済月数、現在価値は借入金総額。
期は、〇回目
参考になれば・・。