空中を飛ぶボールに与える風速の影響

質問

力学にそれほど詳しくはありませんが教えてください。滞空時間ｔ、距離Ｌを飛んだ質量ｍ、断面積Ｄのボールが受けた風（風速ｖ）の影響はいくらだったのかを簡易的に説明できる考え方を教えてください。ボールは無回転として風はボールが飛んだ方向と同じ向きとします。
流体とかを考えてしまうと、とても難しくなってしまいますが、風を考えるのであれば、無風状態での空気抵抗も考えなくてはならないのでしょうか。
最終的には風がなかったら何メートル飛んだのにねといったような計算の仕方を知りたいです。
よろしくお願いします

回答No.2

sanori · ベストアンサー

（参照したサイト）

（Ａ）
http://homepage3.nifty.com/iromono/kougi/ningen/node26.html

（Ｂ）
http://web1.tinet-i.ne.jp/user/mitamura/hansou.htm

（Ｃ）
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/resistdown/

高校の頃、物理で、「空気抵抗は、速度の２乗に比例する」ものであると習いました。

＃１さんのご回答を見て、おやっと思い調べてみたのですが、冒頭に示したサイトＡ、Ｂには、やはり２乗則が書いてありました。
サイトＣは、＃１さんと同様に、速度の１乗に比例すると書いてはいるのですが、文章を見るに、おそらく（私の主観ですが）「（２乗則を適用したところで、どっちみち、流体の挙動は複雑で完全に一致するものではないから）最も単純な１乗則モデルを適用してしまえ」という思想のもとに、思考実験的な論理展開をしているような気がします。

前置きが長くなりましたが、以下、本題。

微分方程式を立てるのが、遠回りのようで、実は近道だと思われます。

質問文で４つのパラメータ（滞空時間ｔ、飛行距離Ｌ、質量ｍ、断面積Ｄ）が提示されていますが、このうち、ｔとＬは定積分の値を求めるときだけに使いますので、微分方程式には使いません。

入れ替わりに、私が新しいパラメータを追加します。
Ｖ＝Ｖ（ｔ）：　ボールの速度（ｔの関数＝経時変化する）
ｋ：抵抗係数

重力の影響は考慮せず、ボールは直線運動することとします。ボールの体積による浮力の微々たる影響も無視します。

まず、空気の抵抗を考えます。
空気抵抗は、相対速度の２乗に比例し、実効面積の１乗に比例しますから

　空気抵抗　＝　ｋ・Ｄ・（Ｖ－ｖ）＾２

です。

（↑ここで　風速ｖは、ボールの飛行方向と同じときに正、逆向きのとき負、と定義しました）

実は、もう、これで微分方程式が、ほぼ完成してしまいました。
なぜならば、ボールが受ける力（加速度）は、空気抵抗だけですから。

加速度は、Ｖをｔで微分したものですからｄＶ／ｄｔ。
それにｍを掛ければ、力になります。

ｍ・ｄＶ／ｄｔ　＝　－ｋ・Ｄ・（Ｖ－ｖ）＾２

（マイナス符号が付いているのは、加速度＝空気抵抗がＶと逆であることを示しています）

これで微分方程式は完成ですが、求めるべきものは、ボールの到達距離ですから、もう少し変形します。
時間ｔにおけるボールの位置をＸ＝Ｘ（ｔ）と置きます。

速度ＶはＸをｔで１回微分したものなので

ｍ・ｄＸ＾２／ｄｔ＾２　＝　－ｋ・Ｄ・（ｄＸ／ｄｔ－ｖ）＾２

あとは、これを解いて、Ｘをｔの関数として表わせばよいです。
仕上げに、時間ｔ＝０において、Ｘ＝０、Ｖ＝Ｖo　という初期条件を入れます。

ここまでは自力で出来ましたが、何せ私は計算とか積分公式とかが苦手なので、あとは、どなたか、識者にバトンタッチすることにします。

以降は、考え方だけ示します。

ここから、飛行距離の計算をすることになりますが、
お察しのこととは思いますが、時間ｔを無限に取ると、ボールの初速が何であれ、最終的には、風の方向に速度ｖで動く等速直線運動になってしまいます。

ボールと風の方向が逆でも、押し戻されて、最終的には、そうなってしまいます。

ですから、Ｖ＝ゼロとなるｔを別計算で求め、そのときのＸを到達距離とされるのがよいかと思います。

＜蛇足＞
サイトＡを読むとわかりますが、つるつるしたボールの場合、抵抗係数の値は、２乗則によく一致するそうです。
これに対し、表面が凸凹したボールですと、ボールの周りに、（流体力学でいうところの）「乱流」が起こって、抵抗係数は単純でなくなり、つるつるボールに比べて抵抗が減少するそうです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに空気抵抗にかんする式を立てて、解くのがよさそうですね。ただ数学力もない小生にはちょっといばらの道ですねぇ。
また、実際の野球の打球などに適用したいと考えています。それもお手軽に（どうも考えが甘いようです）。そうなるとパラメータが足らないようですね。初速と打ち出し角は必要な気がしますがどうでしょうか。

回答No.3

Silicagel

ややこしいこと考えますと，どこまでもややこしいことになりますね．
＃１氏の回答でラフすぎるのなら，＃２氏のおっしゃるように微分方程式
を立てるのがよろしいかと思います．
ただ，風圧をボールの速度の関数にしてしまうと微分方程式になりとてもややこしくなるので，
風圧Ｆが一定．とするのがよいような気がします．
風圧は速度の２乗に比例し，風圧によりボールは減速しますから厳密には風圧は飛行中変化しますが，
その変化がわずかであると無視してしまうのです．
そうすれば，加速度a=F/Mとなりますから，飛距離は単純な，
L=Vx0(x方向の初速度)*t - (at^2)/2
となって，無風状態の
L'=Vx0(x方向の初速度)*t
とくらべれば，(at^2)/2だけが風の影響となります．

ただし，加速度があるということは減速するということで，この論には大きな矛盾が含まれています．
したがって，適用できるのは限られてくると思います．
とりあえずは実験でもしてみないことにはどの程度の誤差があるかはわからないですね．
ただ，ちょっと風の強い日のハンドボール投げとかになると厳しい気もします．

お礼

ご回答ありがとうございます。
小生もずっと考えていましたが、空気自体を無視してしまって、風を違う力と考えるのがいいのではと思いました。ただ風速から風圧を求めるのは、またややこしいですよね。
シンプルで共感できますが、おっしゃるように実験しないと、何とも言えないですね。やはりテレビを見ながら、「松井くん、風がなかったら、あと○ｍ飛んでスタンドまでいったのにねぇ…」というのは無理なのでしょうか。

回答No.1

N64

流体の力学を無視して、ものすごくラフに考えると、Ｔをボールの飛んだ時間（秒）とし、向かい風の風速をＶ（ｍ／秒）とすると、風の影響は、Ｖ×Ｔ（ｍ）となります。つまり、風がなければ、あとＶ×Ｔ（ｍ）飛んだのにねー、と言うわけです。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
よくわかっていなくて申し訳ないのですが、回答ではＴの間に空気が動いた距離になりませんか。単位体積の空気とボールを同等にみてしまうということなのでしょうか。もう少しラフじゃない方向に考えるとどうなりますでしょうか、お教え下さい。