|a・b|＝Re(a・b) について （内積）

質問

複素空間での内積で
|a・b|＝Re(a・b)
という式が成り立つのはどうしてですか？
内積は、実数ではなく複素数として現れるのでしょうか？
また、そうだとしても、この式がどうやって導き出されるのかがわかりません。考え方等をご教授願います。

回答No.13

atomicmolecule · ベストアンサー

以下にもう一度式変形を書きますから落ち着いてよんでください。

　2√(a,a)√(b,b)-(a,b)-(b,a)
=2√(a,a)√(b,b)-2Re(a,b)
≧2√(a,a)√(b,b)-2|(a,b)|..............（A)

１番目の変形は(a,b)=Σ_{i}a(i)^*b(i)が内積の定義なので(a,b)+(b,a)=2Re(a,b)を使いました。
二番目の変形はRe(a,b)よりも大きな数|(a,b)|を引けば全体はもっと小さくなるために不等号になりました。つまり|(a,b)|≧Re(a,b)を使いました。

等号である必要ありません。不等号で結構。

さらにA式にシュワルツの不等式|(a,b)|≦|a||b|を使って|(a,b)|をそれよりも大きな数に置き換えます。よって全体はもっと小さくなります

(A) ≧2√(a,a)√(b,b)-2|a||b|

最後に|a|=√(a,a)と|b|=√(b,b)を使えば右辺はゼロです。よって（A)≧０が証明できました。

引き算する数を大きなものに置き換えると、全体は小さくなるということに注意してください。不等号でOKです。

お礼

何度も何度も本当に有難うございます。本が、間違っているんでしょうね。いろいろな本を当たってみたいと思います！

回答No.3

oyaoya65

#1です。
＞内積は複素空間でも必ず実数となると考えて良いのですね？
＞Im(a・b)は存在しないのでしょうか？
複素数の内積の定義をどんな定義でお考えですか？
３次元までの複素実ベクトル空間で
(２次元の場合)
a=(a1,a2),b=(b1,b2)
a・b:＝a1b1+a2b2
（３次元の場合）
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
a・b:＝a1b1+a2b2+a3b3
の定義で内積a・bをスカラー量と考えれた場合は実数ですのでIm(a・b)＝0は当然です。
外積a×bはベクトル量になり、Im(a×b)は存在します。

しかし、内積の定義が別の定義で、内積が、スカラー量（実数）でなく、複素ベクトルとして定義されているとするならIm(a・b)は存在することになります。

A#2さんの回答のユニタリ内積の定義
a・b:=a_1b^1+a_2b^2+…+a_nb^n
については知っていますが、これが複素ベクトル量ということについては知りません。もしそうなら、n次元複素ベクトル量で定義されているとすれば他の成分はどのように定義されているかは知りません（私の知識の範囲を超えています。(^^;）。)
a・b:=a_1b^1+a_2b^2+…+a_nb^n
の定義の内積もスカラー量に見えるのですが、複素ベクトルでしょうか？（私には分かりません。）

＞また、質問の式には絶対値をつけてますが、それでも条件を満たしませんか？

A#1の解説で回答したように
Re(a・b）は負にもなります。
しかし|a・b|は実数a・bの絶対値ですから負になりません。
Re(a・b）が負の場合は
Re(a・b)≠|a・b|で
Re(a・b)＝-|a・b|
となりますので質問式は常に成り立つ関係ではありませんね。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

どうしてもわからないのですが、Re(a・b)という表記は内積(a・b)の実部ということですよね？ということは、内積が複素(ガウス)平面上にある点で表されていて、その点の実(ｘ)軸の値ということですよね？ｃ＋ｄi(iは虚数単位)とした場合のｃに当たる部分なんで。なぜ、内積の大きさ（つまり｜a・b｜）が、内積の実部の大きさになるのかサッパリです。普通に考えて、√(ｃ^2+ｄ^2)が、大きさでは？？いったい正射影か何かですか？

回答No.2

adinat

複素ベクトル空間での内積は通常ユニタリー内積と呼ばれる内積を入れて考えることが多いです。これは実ベクトル空間での内積とは異なります。対称性がありません。つまり一般にはa・b≠b・aとなっています。

a・b:=a_1b^1+a_2b^2+…+a_nb^n
と定義します。但し、これは標準的な記号ではないですが、複素n次元ベクトルa=(a_1,…,a_n)、b=(b_1,…,b_n)に対して、bの共役複素ベクトルをb^=(b^1,…,b^n)と書くことにしています。普通はバーを使います。当然のことながら、一般にユニタリー内積a・bは一般には複素数になります。けれども、定義からa・aは実数になります。これはaの各成分の絶対値を成分に持つ実ベクトルの標準的なユークリッドノルム(原点からの距離)の二乗に一致します。いずれにしても|a・a|＝Re(a・a)は成り立っています。

さてご質問の件ですが、a・bは一般には複素数である以上、そのような等式が一般に成り立つということはありえません。|・|を複素数の絶対値を表す記号であるというならば、|z|=Re(z)が成り立つためには、z≧0が成立することが必要十分です。すなわち、zが実数でかつ、非負でない限りは成り立ちません。一般に、|z|≧Re(z)ならば常に成り立ちます。より強く、|z|≧|Re(z)|も成立します。このことは、|z|^2=Re(z)^2+Im(z)^2≧Re(z)^2から容易にわかることだと思います。

結論。|a・b|＝Re(a・b)は一般には成立しない。|a・b|≧Re(a・b)は正しい。ということで、不等号の間違いではないかと、僕は思います。

お礼

回答ありがとうございます。
|a・b|＝Re(a・b)は一般には成立しないとのことですが、教科書にそう明記してある以上信じるしかないなと思って戸惑っています。特に、条件みたいなのも記してなかったので・・
シュワルツの不等式が関係しているのかな・・・

回答No.1

oyaoya65

＞成り立つのはどうしてですか？
必ずしも成立しないですね。

内積
a・b
は実数ですね。
内積は
|a|×|b|cosθ
ただし複素平面に複素数a,bをプロットした時の点をそれぞれA,B、原点をOとすれば θ=∠A0B

このθが鋭角か直角の時、質問の式は成り立ち、鈍角の時符号が逆になって成立しません。

解説）
a=a1+i a2
b=b1+i b2
( iは虚数単位)とおけば
内積(a・b)=|a|・|b|cosθ
= (|a|^2+|b|^2-|c|^2)/2
=[a1~2+a2^2+b1^2+b2^2-{(a1-b1)^2+(a2-b2)^2}]/2
=a1b1+a2b2

|a・b| = |a1b1+a2b2|≧0

内積(a・b)はもともと実数ですので実部をとっても、とらなくても同じです。
Re(a・b) = a・b
= |a| |b| cosθ
θが鈍角のとき　cosθ＜0 で　Re(a・b)＜0
で質問の式は成立しません。

θが鋭角または直角のときは　cosθ≧0
でRe(a・b)≧0となり、この場合に限って
質問の式が成立します。

お礼

回答ありがとうございます。
内積は複素空間でも必ず実数となると考えて良いのですね？
Im(a・b)は存在しないのでしょうか？また、質問の式には絶対値をつけてますが、それでも条件を満たしませんか？