マルコフ過程でないマルチンゲール

質問

マルコフ過程ではないマルチンゲールの例が思いつかないのですけど、どなたか分かる人いませんか？

回答No.1

grothendieck

X1, X2, … を離散過程とすると、X[n+1]の平均がX[n]の実現値だけで決まるのがマルチンゲール、X[n+1]の分布がX[n]の実現値で決まるのがマルコフ過程と私は理解しています。分布を与えると平均が決まりますが、逆はもちろん成り立たないのでマルチンゲールだがマルコフ過程でないようなものはあると思います。例えば、X[n+1]のX[n]からの増分の密度分布が
(1/√(2πv))exp( -x^2/(2v))
としてvを定数とすればマルコフ過程、vを X1, X2, … の分散とすればマルコフ過程でないマルチンゲールになるのではないでしょうか。例えば株価のようなものを考えた時、平均としては横ばいだが変動が大きい時と少ないときがあります。変動が大きい時は将来の予測は「現在の株価が保たれる」だが、それとはずれるリスクが大きくなります。それで金融ではマルコフ過程でなくマルチンゲールが用いれらるのではないかと勝手に想像しています。私は確率過程のことは何も知らないので間違っているかもしれないし、もっと適切な例があるかもしれません。