摩擦を考慮したサイクロイド曲線

質問

摩擦を考慮しないときのサイクロイド曲線上をものが下っていくとき最も早く、t=２* Π * √(a/g) で最下点に到達することは、わかるのですが、摩擦を考慮した場合この時間はいったいどうなるのでしょうか？
摩擦を考慮した場合の降下時間を求める式や、算出する方法はあるのでしょうか？ご存知の方よろしくお願いします。

回答No.4

ojisan7 · ベストアンサー

No1～No3です。No3の続きを書かせて下さい。
dx/dt＝v_x
dy/dt＝v_y
とおき、計算を続行し
(v_x)^2＋(v_y)^2＝v^2
の関係を使うと、
(1/2)v^2 ＋gy　＋gμx ＝const　・・・（１）
となります。これは、力学的エネルギーをgμxが食いつぶしているという形ですね。

また、出発点から到着点までの時間をＴとすると、
Ｔ＝∫ds/v＝∫√{(1+(dx/dy)^2)/v^2}dy
ですから、δＴ＝0　となるためには、被積分関数、
E＝√{(1+(dx/dy)^2)/v^2}　・・・・（２）
がEulerの方程式を満たさなければなりません。
(1)を使って（２）にEulerの方程式
d/dy(∂E/∂x')-(∂E/∂x)＝0　（x'はdx/dy)
を代入して、計算するのですが、これが難物です。保存力の場合と違って解くのは非常にやっかいとなります。実際に確かめて下さい。

お礼

俺が遅くなって申し訳ありませんｍ（＿＿）ｍ
わざわざ解説までしていただいて恐縮です
難物のさらに難物でうすか＾＾；
がんばってみます！ありがとうございました！！

回答No.3

ojisan7

No1,No2です。気になったので、計算の見直しをしました。
すこし、間違えました。正しい運動方程式は、
md^2x/dt^2=-mg(dx/ds)(dy/ds) -fdx/ds
md^2y/dt^2=-mg(dy/ds)^2 -fdy/ds　
となります。摩擦力ｆは動摩擦係数をμとすると、ベクトル表示で、
ｆ＝mgμdx/ds(dx/ds,dy/ds)
となりますから、これを使うと、

md^2x/dt^2=-mg(dx/ds)(dy/ds) -mgμ(dx/ds)^2
md^2y/dt^2=-mg(dy/ds)^2 -mgμ(dx/ds)(dy/ds)

ただし、ds＝√{(1+(dy/dx)^2}dx
です。

式は一見きれいですが、明らかに非線型ですよね。

お礼

わざわざ計算の確認までしていただいてどうもありがとうございます！！
やはりそうでしたか＾＾；こうなると私には未知の領域になってしまいますわ＾＾；；
お手数おかけしましたｍ（＿＿）ｍ

回答No.2

ojisan7

そうですね。計算はまだしていませんが、
ds＝√{(1+(dy/dx)^2}dx
ですから、もとの式に代入すると、明らかに非線型の微分方程式になります。

回答No.1

ojisan7

摩擦を考慮すると、保存力ではなくなるので、式が複雑になることが予想されます。また、変分法が使いにくくなりますね。
ちなみに、x-y平面内の運動でｆを摩擦力とした場合、運動方程式は

md^2x/dt^2=-mgdy/ds -fdx/ds
md^2y/dt^2=-mgdx/ds -fdy/ds　　（ｄｓは曲線ｙの微小長さです。）

となるでしょうか。最速降下線を求めるには、摩擦力ｆに影響される部分が大きいので、一般的には難しいですね。

お礼

ん～やっぱり難しいんですね＾＾；
私的には保存力である場合を考えただけでも必死だったので
さらにきびしいですね＾＾；；
ありがとうございました！！

補足

お礼を言った後にすみません。
これはひょっとして、非線形の式になったりするのでしょうか？