等角写像について

質問

2次元のラプラス方程式を解く手法に複素関数を用いた等角写像と呼ばれる方法がありますがそれはどのようなものなんでしょうか?
またどのような実験などに応用できるものですか?

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

複素関論で正則関数ｗ＝f(z)を実部と虚部に分解し、
ｗ＝u+iv
とすると、コーシーリーマンの公式を満たします。
このu,vはそれぞれ２次元のラプラス方程式も満たします。
逆に言えば、２次元のラプラス方程式を解くには、複素関数論が使えるわけです。しかも正則関数ｗ＝f(z)はｚ平面からｗ平面への等角写像（角度を変えない変換）になっています。このことは、複素関数論の教科書を読んで下さい。

等角写像の応用面いろいろありますが、例えば、流体力学で２次元の流れの場を計算で求めるのに応用されます。
実例をあげれば、翼などに用いられる流線型（ジューコフスキー翼）の回りのながれを調べるのに等角写像の性質を使えば、円筒形の流れを調べることで済ませることができます。（円筒形の回りの流れを、等角写像により流線型の回りの流れに変換することができる）

その他、応用面は広いと思います。ぜひ勉強してみて下さい。

お礼

御礼が遅くなりました。
ありがとうございましました。