光速の0.8倍のロケットAが地球から１０光年離れた星Sへ・・・

質問

光速の0.8倍のロケットAが地球から10光年離れた星Sへ向かう。Aが出発してから、Aの時計で２年後に光速0.5倍のロケットBをSに向けて発射。（Aから見て、Bは0.5ｃ）この事象は地球から見て、いつ、どこでか。また、BはいつSに着くか、地球から見たときと、Aからみたときから答えよ。
解いてみたところ、この事象は地球から見て１０/３年後。
Bがいつ着くのかは、解けなかったのですが、地球から見た時のBの速さは１３/６ｃとなったのですが、合ってますでしょうか。
是非解き方を教えてください。
よろしくお願いします！

回答No.2

shiara

「どこで」というのは、地球とSを結ぶ線上の「どこか」です。答え方としては、地球から○光年の距離とか、Aから△光年の距離となります。この問題は、地球とSを結ぶ方向をｘ軸とし、地球を原点とする座標系と、同じ方向をｘ軸として、ｘ軸の正方向に運動しているAを原点とする座標系との間のローレンツ変換を考える問題です。時間の原点は、Aが地球を出発した時間とします。
　AがBを発射したのは、地球から見て、いつ、どこでか、という問題は、次のようになります。Aから見て、2年後にｘ座標がゼロの点からBを発射するのですから、(x,t)=(0,2年)の点が、地球から見てどうなるのかをローレンツ変換によって求めます（(X,T)とします）。これにより、T=10/3年が求まったはずです。このとき、Xがいくつなのかは、BがSにつく時間を求めるのに必要です。地球とSとの距離は10光年ですから、残りの距離は(10光年-X)です。これを、地球から見たBの速さで割れば、BがSに到着する時間が分かります。
　2つの座標系の間の変換にローレンツ変換を使う以外は、小学生レベルの問題です。難しく考えずに、よく整理して考えてみてください。

回答No.1

shiara

ローレンツ変換式で計算すればよいだけです。10/3年後というのは合っています。地球から見たときのBの速さが13/6Cというのは、どのような計算か分からないのですが、これでは光速より速くなってしまいますので間違っています。私の計算では、13/14Cです。Bの速さだけを求めるのであれば、速度の合成の計算式に入れればすぐに求まります。
　地球から見たときに、Bが発射された位置も求められていると思いますので、残りの距離を13/14Cで飛ぶときの時間を求めれば、到着する時間が求まります。これをローレンツ変換式に入れれば、Aから見たときの時間が求まります。できれば、Aから見たときの時間は、Aの座標系で求めてみるとよいでしょう。それで答えが一致していれば、まず間違いないでしょう。

補足

Bの速度は求まりました！分母の１＋～を１－～にしていました。ありがとうございました。しかし、Bがいつ着くのかどうしてもわかりません。詳しく教えていただけませんか？あと、この事象は地球から見ていつ、どこでか。という質問ですが、どこでとはどういうことでしょうか？
色々とすみません。教えてください。お願いします。