慶応志木の過去問なのですが…

質問

慶応義塾志木の過去問なのですが、私は数学が苦手で、どうしても解けませんでした。どなたか数学がお得意な方に教えていただければ幸いです。

Ａ地点にいる８人が２０ｋｍ離れたＢ地点に行くのに、５人のりの車が１台しかない。そこで５人が車で、３人がかけ足で同時に出発した。Ｂ地点の手前ｘｋｍのところで車に乗っていた４人は降り、かけ足でＢ地点に向かった。１人は車を運転して引き返し、走ってくる３人を拾って、再びＢ地点に向かった。Ｂ地点に到着したのは８人同時であった。車の時速を８０ｋｍ、かけ足の時速を１２ｋｍ、乗り降りに要する時間は考えないものとして、ｘの値を求めよ。

よろしくお願い致します。

回答No.3

blackleon · ベストアンサー

このような問題を解くときは、ダイヤグラムを書くと視覚的に理解できるようになります。
平行の直線を二本引きます。一本は出発点でLa、もう一本は到着点でLbとします。
この二本の線の間に、さらに二本平行線を引きます。
Lbに近い線は車が引き返す地点でLc、Laに近い線は引き返した車が３人を拾う地点でLdとします。（LbとLcの距離がｘ、LcとLaの距離が２０－ｘになります）

これらの直線は左から右に向かって時間の進む方向とします。

Aから急な角度（θ1）で直線をLcに向かって引き、交点をCとします。ここは車が引き返す場所と時間をあらわします。
Cから同じ角度で（光が反射するように）Ldに向かい、この交点をDとします。ここは３人を拾う場所と時間を示します。

Cから緩やかな角度（θ2)でLbに線を引きます。この線とLbの交点がBになります。
（tanθ1:tanθ2=80:12)

車のスピードと人が走るスピードは一定ですから、直線ACとDB、直線ADとCBは平行になります。
したがって、四辺形ACBDは平行四辺形になります。
このことから、直線LaとLdの距離はLbとLcの距離と同じxです。LcとLdの距離は(20-2x)となります。

ここで車がAからCを経てDに至る時間はLaとLcの距離(20-x)と、LcとLdの距離(20-2x)を足したものを８０で割って計算できます。この時間は人が、AからDにいく時間x/12に等しくなります。

したがって方程式は、｛(20-x)＋(20-2x)｝/80=x/12
これを解くとx=120/29となります。

複雑なようですが、実際に図を書くとわかりやすいと思います。
視覚的に理解できれば、連立方程式は必要ありません。

お礼

お礼が遅れてしまってすいませんでした。
ダイヤグラムをかけばよかったんですね！！まず私は基本的なことからなっていないようでした。驚くほど簡単に解くことができ、びっくりしました！
ご親切、感謝しています。
ご丁寧にありがとうございました。

回答No.4

kony0

算数ならば。。。

車が出発してから折り返して出会うまでに走った道のり：出会うまで駆け足で走った道のり＝80:12

はじめ車に乗っていた人が降りてから走る道のりと、はじめ走っていた人が車に乗るまでに走った距離は同じ。（ダイヤグラムで平行四辺形がかけますから）
この道のり（実はｘのこと）を(12)とすると、はじめ車に乗っていた人をおろすまでに走った道のりは( (80)+(12) )÷2 = (46) であることがわかると思います。

つまり車に乗って走る道のり：走る道のり＝46:12

よって、ｘ＝20km * (12)/(58) = 120/29 km

お礼

こんなに簡単な方法があるなんて…！とても解りやすい解説をありがとうございます。今度からこのような問題が出題されても、うまく解くことができそうです。本当にありがとうございました。

回答No.2

seian

スタートを時刻0として4人が降りる時刻をa、
3人を拾う時刻をb、
全員が到着する時刻をcとすると、
4人は時速80[km/h]でa時間、12[km/h]で(c-a)時間走ったので

80a+12(c-a)=20 ---(1)

3人は時速12[km/h]でb時間、80[km/h]で(c-b)時間走ったので

12b+80(c-b)=20 ---(2)

車はずっと80[km/h]で時刻aまでは正の向き、時刻aからbまでは負の向き、bからcまではまた正の向きに走ったので

80a-80(b-a)+80(c-b)=20 ---(3)

これで3つの未知数に対して3つの式が出来たのであとはこれを解けばOK。
最終目的のxは4人が車を降りて走った距離なので

x=12(c-a)

問題の設定が間違っていません?
連立方程式を解くのにやたらと分数が出てきてしまいます。
因みに a=23/116、b=10/29、c=63/116
x=120/29
何か変だと思って検算をするかどうか迷っていたのですが
hide--さんが答えを出されていたので見た所どうもこれで良いようです。

お礼

お礼が遅れてしまって申し訳ありません。問題はそれであっているようでした。
私がまとめた式とはまったく違い、とてもわかりやすいです。もう一度やり直したところ、やはり簡単に解けました。本当に感謝しています。
ご丁寧にありがとうございました。

回答No.1

hide--

こんばんは。
後で走った３人が走った距離ｘｋｍにかかった時間はｘ／１２（時間）ですね。
車が引き返した距離をｙ（ｋｍ）とすると、車は３人を下ろした以降、
ｘ＋２ｙ（ｋｍ）走っています。これにかかった時間が（ｘ＋２ｙ）／８０（時間）です。
同時に到着したのであれば＝ｘ／１２（時間）なのですから、これを計算して、
ｙ＝１７ｘ／６になります。

次に、最初走った４人が走った距離は（２０－ｘ－ｙ）ｋｍですから、かかった時間は（２０－ｘ－ｙ）／１２（時間）です。
その間に車が走った距離は（２０－ｘ＋ｙ）ｋｍですから、かかった時間は（２０ーｘ＋ｙ）／８０（時間）です。これが等しいわけなので、ｙ＝１７ｘ／６を代入し、これを計算すると、ｘ＝１２０／２９ｋｍ≒４．１３８ｋｍとなります。
もしかすると計算は間違えているかも～

お礼

ご丁寧な解説ありがとうございます。
そのように私も自分でやってみたところ、簡単に解けました！とてもわかりやすかったです。本当にありがとうございました。