電磁誘導 (発展問題)

質問

鉛直下向きで磁束密度がＢの一様な磁界の中に、二本の長い導体レールを平行を保って水平から角度θに固定する。レールの間隔はＬで、その上に導体棒を置く。レールの上端には、抵抗Ｒの抵抗が接続されている。抵抗以外の電気抵抗、および導体棒とレールとの間の摩擦は無視できるとする。
（問）導体棒の速さＶを求めよ。　　ってのが
一般的な問題だと思うんですが、先生より抵抗RではなくてコイルLを入れた場合はどうなるか？という問題が出されました。２，３年前に出されてその当時には解けないといわれたんですが、２，３年たったいまでも
解けません…汗。結局どうなるんでしょうか？教えてください。

回答No.4

ojisan7 · ベストアンサー

わかりにくい書き方をして、すみません。
Ｎｏ１で回答したＬはすべて、導体棒の長さのつもりです。(1)と(2)を連立させれば、簡単にＶが求められます。（一階の微分方程式です。）

抵抗の代わりにコイルを入れた場合には(1)のRIの代わりに
LcdI/dtを使えばよいわけです。ただ、この場合は計算してみればわかることですが、二階の微分方程式を解くことになります。計算が多少長くなるかも知れません。積分定数がでてきたら、初期条件を代入しておきましょう。t＝0のときＶ＝0とすれば、簡単になります。
試してみてください。
この問題は、たいへん面白い問題だと思います。ありがとうございました。

回答No.3

ymmasayan

電気を学んだのが遠い昔で自信はありませんが、多少のヒントにでもなれば。

１．まず抵抗の場合、パラメータが１つ足りないと思います。
　　導体棒の重量です。
　　導体棒の失う位置エネルギーと抵抗の消費するエネルギーが
　　バランスする速度で落ちて行きます。
　　これ以上は省略します。

２．これはかなり難しそうですね。
　　これも導体棒の失うエネルギーとコイルの蓄積するエネルギーの
　　時間微分が等しいという条件になるでしょう。
　　コイルの蓄積する磁気エネルギーはＬＩ^2／２ですから、この微分が必要です。
　　ところがこれだけでは解けないようです。
　　Ｉを規制するものが無いからです。
　　あとはコイルの逆起電力－Ｌ×ｄＩ／ｄｔと導体棒の発生する起電力が
　　等しいという条件で電流が制限できて解けそうです。
　　結局２つの微分式を連立させる必要がありそうですね。

このあたりが私の限界です。失礼しました。

回答No.2

ojisan7

あっ、すみません。コイルを入れることを忘れていました。この場合は、ＲＩのかわりにＬdI/dtを使えばよいと思います。
（平行棒の距離ＬとコイルのインダクタンスＬは違う記号にしたほうが良いと思います。）

がんばってください。

回答No.1

ojisan7

位置関係がイメージしにくいですが、読んだ範囲ではそんなに複雑な問題のようには思えません。

☆考え方
導体棒の動いた距離をdｘとすると、磁束の変化は、BLdx
となり、起電力は、BLdx/dtとなります。この、起電力で、抵抗に電流が流れます。流れる電流をＩとすると、
(1) BLdx/dt＝RI
となります。

次に導体棒にかかる力を考えます。導体棒には、重力と、平行棒からの垂直抗力、そして、ローレンツの力が加わります。導体棒の線密度をσとすると、
(2) σLd^2x/dt^2＝σｇ＊sinθ-BIL
となります。あとは、(1)と(2)を連立させればよいとおもいます。（ここで、dx/dt＝Ｖとしておいたほうが式は簡単だと思います。）

このあとは、自分でよく考えてください。

補足

回答ありがとうございます。だいぶイメージがわきました。レールの幅がLでコイルがLでわかりにくくなっていましました、棒に質量を与えれば簡単になりますね、(2)式の面密度ρ×LのLはレール幅のLですよね？だったらそこを質量ｍとおけばma=Fの左辺として納得がいきました。それともLはコイルのインダクタンスのLですか？コイルのインダクタンスはLcとおくとどうなるんでしょうか？(2)m*d^2x/dt^2＝m*ｇ＊sinθ-BILc
となりますか？