角に対する摩擦力と面に対する摩擦力の違い？

質問

この間友人と話題に出たのですが、よく分からなくなってしまったので質問させて頂きたいと思います。

円筒に内接する多角柱があるとして、これにトルクを与えた時、角の数が多いときと少ないとき、どちらがより多く摩擦を受けるか、という事なんです。

この時、多角柱の角は全て円筒に接しており、角柱の各角から円筒に対しては等しく力がかかっているものとして、角の数が変わっても合力は等しいとします(角の数が多くなると1つの角にかかる力は小さくなる)。

僕は角の数が変わっても力が小さくなるので合計摩擦力は同じだと思ったのですが、
彼は、もし角の数を無限大に取ればそれは円に等しくなる。面で接しているのだから角で接しているときよりも摩擦力が大きくなる。つまり、合力が等しくても接触面積が大きい方が摩擦を受けやすいのだから、角の数が多い方が摩擦力は大きい、というのです。

摩擦力は抗力に比例する(ｆ＝μＮ 高校ではこう習いました)のだから、接触面積が大きくても合計摩擦力は同じだと思ったのですが、何となく感覚では彼の言う事の方が正しいような気がしてしまいます。

確かに、角で接している場合の摩擦と、面で接している場合の摩擦とでは、何か違いが有るような気もします。
面で接している場合と比べて引っかきみたいな感じになってちょっと摩擦力が上がったりするのかなぁ、とか。

なんかよく分からなくなってしまいまして。一体どちらが正しいのでしょうか？有識者の方、よろしくお願い致します。

回答No.8

k_riv · ベストアンサー

工学的に考えてみると以下のようになります。

F=μN　　　・・・（１）
（１）式の（μ）は、＃７さんのおっしゃっている通り、使用材料や表面の状態で決まる摩擦係数です。逆に考えれば、この質問の場合、中に入れる角柱や円筒の材質や表面の状態を変えてしまうと、質問の趣旨からずれてしまうと考えられるので、同質の材料を使用すると仮定し、一定とします。
外力＝摩擦力＝摩擦係数・抗力
すると、（１）式は（μ）を比例定数とする単なる一次方程式になり、トルクを与えるための外力（F)が決まれば、形状に関係なく、抗力（N)は一義的に決まります。

ここまででは、面白くないので、
（１）式の（N)は、接触部分の面積（A)に応力度（σ）を乗じたものになりますので、
N=σA　
ここで、多角形（ｎ角形）の接触面積は、角柱の高さを（H)、１辺の接触部分の微小幅を（ｔ）としすると、
An=H・ｔ・ｎ
で定義できます。このとき、ｎ＝∞　で、円筒の表面積（Aｃ＝２πｒ・H）になります。
つまり、
多角形の外力　　Fn＝μ・An・σn　　・・・（２）
円筒の外力　　　Fc＝μ・Ac・σc　　・・・（３）

結論１
Fn＝Fc＝F　とすれば、
F＝μ・σn・An＝μ・σc・Ac＝μN
　外力（F)を一定とすれば、応力度(σ）は、円筒の時最小値となり、多角形の角数が少ないほど大きくなる。つまり、「応力度と接触面積の積は一定である。」という仮定条件の元で、（１）式が成り立っています。
N=σn・An＝σc・Ac
即ち、外力（F)によって、一義的に決まるというのは、単に（F)と（N)が比例するという意味です。（１）式には、応力度（σ）項がありませんので、この程度の意味しかありません。

結論２
しかし、工学的な意味を持たせるには、（２）、（３）式に、σn＝σc＝σ　という条件を付加し、
Fn＝μ・σ・An　＜　Fc＝μ・σ・Ac
∵An＜Ac
　応力度（σ）を一定とすれば、外力（F)は、接触面積に比例し、円筒の場合最大となり、多角形の角数が少ないほど小さくなる。

という説明で如何でしょうか。
語句が、不統一で申し訳ありません。記号によって判断してください。

お礼

非常に分かりやすく、かつ論理的な回答をありがとうございます。

An＜AcよりＦ∝Ａというのはなるほどですね。
ただ、１つ疑問なのは、応力度一定とは在り得る条件なのか、という事でしょうか。
応力度とは外力によるパラメータでもないと思いますし、むしろ表面状態などによる摩擦係数に近いパラメータのような気がしたので。
確かに応力度一定ならＦ∝Ａとなりますが、
応力度一定という条件が何によって保障されているのかがわからなかったので、ちょっと気になりました。

応力度という１つのパラメータで、重力や角数が変わったときの抗力の影響などを受け負わせてしまうのは物理界ではよくある事なので、
こういう考え方も面白いなー、と思いました。
ちゃんと理解していないかもしれませんので、全然見当違いの事を言ってたら申し訳ありません。
回答、ありがとうございました。

回答No.9

goobest_2004

>原子間力ですか…。
でも原子間力の作用範囲って同一物質内程度じゃないんでしょうか？
凹凸のかみ合いは増えるので、摩擦力が強くなるとも考えられますね。

世の中には原子間力顕微鏡ってものがありますよ。
異種物質で力は働きます。

お礼

>世の中には原子間力顕微鏡ってものがありますよ。
それは知りませんでした！
原子間力といえば金属原子間や有機物の原子間に働くようなミクロな距離でしか働かないと思っていたもので。
摩擦に関係してくるほど作用範囲が大きいとは思いませんでした。
回答、ありがとうございました。

回答No.7

space-alien

数学的に摩擦力を求める場合と、物理的に摩擦力を求める場合が、混同していると思います。

　数学的には、多角形になっても、接触する面積は線（接触面積なし）であるため、摩擦力は「０」。
　物理的には、接触する角が多ければ、多角形の震動、角の先端からの中心までの距離のバラツキ、接触面積などを考慮すれば増加することになるため、摩擦力は増加すると思います。
　また、ｆ＝μＮ は、接触する面の状態や面積により、μは変化します。

　極端な話、物理的には、ザラザラな面の場合を想像し、円と円が接触している場合は、かなりの摩擦力が働くことで、理解できるのではないでしょうか。

したがって、友人の言っていることのほうが、正しいと思います。

お礼

多角柱の震動、というのは考えた事がありませんでした。
やはり現実的に考えれば接触面積が増せば摩擦力も増す、という結論になりそうですね。
回答、ありがとうございました。

回答No.6

paddler

機械は素人に近いので、直感的な内容ですみませんが。

> 円筒に内接する多角柱があるとして、これにトルクを与えた時、．．．

よ～く考えてみると、この問題を現実に実験するのは難しいですね。

この円筒が円形の面を底にして立てられている状態を想定します。このとき、内接する多角形は円筒に内接するだけ（すなわち公差＝０、現実にはわずかにプラス）で、きつくはまっている状態でなければ、多角形の芯をきちんと保ったまま回転させる場合には多角形と円筒の内面で押し合う力は生じないのではないでしょうか？　つまり抗力はないので基礎的な力学で習う範囲の摩擦力は生じない。もちろん少しでも芯をずらす方向の力が加われば押し合う力が発生しますが、これを一定に保つのも難しいですね。

ただし、わずかでもきつく多角形が押し込まれている（公差＜０の締まりばめ）であれば、円筒and/or多角形の角が変形した嵌め合いになっていますから（完全剛体ではないので）、単純な摩擦ではなく、角が食い込む状況を想定しなければいけませんね。

このあたりを踏まえると、円筒内に多角形と円筒を同じ嵌め合いの条件で入れて回転させる、というのは現実的にははなはだ難しく、逆に言えば同じ条件下での実験は非常に難しいのではないでしょうか？

お礼

ふと思ったのですが、

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上の図(解り難くて申し訳ありません)のように、
接地面に、多角柱の角と同じ角度を持つ三角柱をつなげ、範囲荷重を加えたものを横から引っ張れば、
この実験と同じような意味合いを持つのではないでしょうか？

確かに現実的に考えればかなり難しい状態になっているようですね。
やはり摩擦というのはまだかなり難しい現象のようです。
だからこその理論式、理想状態(合計摩擦力一定)という結論なのでしょうね。
回答、ありがとうございました。

回答No.5

ojisan7

摩擦力の問題は難しいと思います。結論を先に言ってしまえば、実際にいろいろな物質で実験をしてみるよりほかはないような気がします。

　「角の数が多い方が摩擦力は大きい」という意見もありますが、「角の数が無限に多くなれば、それだけ、滑らかさが増す」という考えもできます。従って、「角の数が多い方が摩擦力は小さい」とも言えます。

　摩擦については、古典的なクーロン・アモントンの法則が成り立たない場合も多いとも聞きます。

　クーロンの法則に従えば、「合計摩擦力は同じ」です。私は現在の段階では、これが、いちおう、正しいものと考えております。

お礼

角の数が多くなればそれだけ角度も大きくなる、という所がミソではないかと思います。
理論的に考えれば確かに合計摩擦力は同じはずなのですが…。
円筒と円筒で考えた場合に感覚的に摩擦力が大きくなるように感じてしまったのです。
回答、ありがとうございました。

回答No.4

sqw-99

はっきり言っておきます。「有識者」ではありません。単なる「アフォ」です。

方重力を加味しますと、

４角の場合の接点は２個（上半分）
６角の場合の接点は３個

この状態で、上は角数の半分の接地抵抗を得る計算になります。

大げさに言えば、数億角形なら接地抵抗（面積）はＭＡＸになります。

接点では誤解が多いので、接地面積と考えると分かりやすいと思います。

接地面積が増えると、抵抗は大きくなります。

真空中の実験であれば貴方の理論通りの計算で良いとおもいます。
引っかかりで偏心した運動になり、運動エネルギー計算になるからです。

「重力を考慮に入れていなかった」
こう言えば友達も有識者ですので納得して前に進めると考えています。

お礼

方重力というのは何でしょうか？
申し訳ありません、ちょっとわかりませんでした。
重力に対してどういう条件で実験を行うかによって結果が変わるという事でしょうか？
確かに重力に横向きに円筒を設置すれば下の角に力がかかりますね。
あ、でも各角から円筒には等しく力がかかっているとするのでした。
それと、空気中か真空中かによって摩擦力に何か影響があるのでしょうか？
全然見当違いのことを言っていたら申し訳ありません。
よろしければお教え頂ければ光栄です。

やはり物理的には接地面積が増すと抵抗も増すのですね。
ありがとうございました。

回答No.3

goobest_2004

追加です。

摩擦の式は本当に接触したときと離れているときをON、OFFで区別していますが、

実際には、原子間力の届く領域かそうじゃないかという微妙なもの。

角が多くなっていけばそれが浅くなっていくために微妙でも原子間力の働く実効面積は増えていき、摩擦係数は（理想的に考えても）角の角度で変わるんじゃないでしょうか。

お礼

接地面に対する角度がほぼ180度(円に等しい)になれば、原子間力は全角(面?)にかかるのですから、
摩擦力は上がるのかもしれません。
ただ、角が深い場合にはそれが考えられるのかどうか…？
よくわかりませんね。

回答No.2

goobest_2004

実際には友達の結果になるんじゃないですかね。

理論的には一緒かもしれないですが、実際には接触面積が角が多い方が増えます。理論的には点であってもつぶれて接触面が増えますよね。

摩擦力ってのは、ミクロでは原子間力と、凹凸のかみ合いです。したがって接触面積が大きいほど、または近づく程、原子間力の作用も強くなって、摩擦が強くなると思いますよ。

お礼

原子間力ですか…。
でも原子間力の作用範囲って同一物質内程度じゃないんでしょうか？
凹凸のかみ合いは増えるので、摩擦力が強くなるとも考えられますね。

回答No.1

kwgm

ｆ＝μＮで、接地面積の大きさとは無関係ですよ。

お礼

素早い回答、ありがとうございます！
数学的にはそのようですね。
ただし、物理的に考えるとそうならない場合も出てくるようです。
やはり摩擦って言うのは難しいですね。
回答、ありがとうございました！