資格を取得した日です。
資格を取得したと言うことは資格要件を満たして届出を行い受理された際の認定起算日であります。
＞母や父の資格取得日は誕生日なのですか？
これはないでしょう。何故なら御父様やお母様が生まれたと同時に今の健康保険の資格を取得したとは考え難いからです。御父様が社会保険で他の家族が扶養と想定すると、お父様の資格取得日は入社時になります。入社前に結婚しており専業主婦であればお母様も同様です。入社後に結婚したのであれば結婚して専業主婦になった日が資格取得日です。
誕生日が資格取得日になるケースは子供だけです。
＞私の家族の保険証には母と父は同じ日になっていますが・・・それは結婚した日なのでしょうか？？
これもないでしょう。
結婚した日に夫婦同時に健康保険の資格を得るなんて事は考え難いです（出来なくは無いです）。
普通は、結婚していた夫婦が居て、生計を維持する者が企業に入社するなり退社するなりして保険者が変わっただけと考えます。
要は御父様が生計を維持する者だったとして、御父様が入社されて会社の健康保険組合に加入した時の日付が夫婦の資格認定日となります。そのままの状態で御質問者様が生まれれば御質問者様の資格取得日は誕生日となります。
御父様が退職されて国民健康保険に加入した場合も同様です。
例えば今日御父様が退職されて国民健康保険に加入する場合、今日の日付で御夫婦、御質問者様全てが資格取得日となります。
全ては社会保険上の扶養範囲内での説明です。
補足
ありがとうございます！しかし、その場合母や父の資格取得日は誕生日なのですか？私の家族の保険証には母と父は同じ日になっていますが・・・それは結婚した日なのでしょうか？？