正規行列について

質問

ふと疑問に思ったのですが、
ユニタリー行列、エルミート行列、直交行列、対称行列
など、特別な名前を持つ行列以外で
正規行列であるような行列は存在するのでしょうか？
存在するのであれば、どんな行列でしょうか？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

今まで考えたこともなかったですが、たとえば行列
[1 0 -1]
[-1 1 0]
[0 -1 1]
は対称(エルミート)でも交代(歪エルミート)でも直行(ユニタリー)でもありませんが、正規行列です。従って正規だからといってこれらのいずれかの行列に一致するわけではありません。固有値が実のみ⇒エルミート、純虚数のみ⇒歪エルミート、絶対値1のみ⇒ユニタリーというわけですから、結局これ以外の正規行列ならば反例を作れます。

具体的にやるためには、まず正規行列がユニタリー行列で対角化できる（特に対角成分には重複も込めたすべての固有値が出てくる）ことに注意して、固有値が実のみ、純虚数のみ、絶対値1のみにならないような対角行列Tをとり、適当なユニタリー行列Uを用いて行列A=(U^†)TUを考えます。そうするとAは特別なUではない限り特別な名前を持たない正規行列になっているでしょう。なお^†は共役転置のこととします。見難いですが。