自然数の各位の数字を２乗してからたすと？

質問

例えば最初の値を２にすると
2^2=4,4^2=16,1^2+6^2=37 と続きます。
これを繰り返し、数列を作ると
2,4,16,37,58,89,145,42,20,4
となって循環します。
最初の数字をいろいろ変えてみると、１になるか、循環するかのどちらかのようです。
これってどんな自然数でも（何桁でも）成り立つんでしょうか。証明するとしたらどうなるんでしょうか。

回答No.2

kony0

おもしろそうなので実験しました。

・結果が１とならないものについてはすべて周期８の循環になること
・３桁以内の任意の整数を出発した場合、遅くとも１２回目には当該周期に突入する

ことがわかりました。前者はびっくりですね。

３桁以内にまで落ち込むところは＃１さんの指摘どおりですので、２０回ちょっと繰り返せば循環が見て取れるようです。

回答No.1

sunasearch

どんな自然数でも成り立ちます。

n桁の自然数の各位の二乗和は、一桁の整数の二乗が81以下となることから、およそn×100以下になります。

これは、2 + log_10 n 桁の数字になり、
nが大きい時は、n > 2 + log_10 n　が成り立ちますから、操作を繰り返すうちに、数字はどんどん小さくなっていきます。

1から3桁にまで数字が小さくなった時、その二乗和は300を超えませんから、300回同じ操作を繰り返すまでには、循環することになります。