初級シスアド【共通カギ暗号方式について】

質問

共通カギの個数を解く問題なのですが、以下の問題で、全体で必要なカギが「45個」だそうです。私は9個かなと思ったのですが、なぜ45個も必要なのでしょうか？

よろしくお願いします。

（問題）
“かぎ1”と“かぎ2”に同じ“かぎ”を用いる暗号方式で，10人がインターネットメールを使って暗号通信を行いたい。このとき，通信は1対1で行い，当事者以外には通信内容を秘密にしておくとすると，個人で管理する“かぎ”の数は［　　e　　］個となる。また，全体では［　　f　　］個の“かぎ”が必要となる。

解答群
ア2、イ9、ウ10、エ18、オ45、カ90、キ100

（答え）
e：9，f：45
---------------------------------------------

まず、eについて、
自分以外の人たち9人分のカギを管理する必要があるというわけでしょうか？9人それぞれが、固有のカギを持っているというわけでしょうか？

だとすると、fでは
１人で9個のカギを保管。
１０人いるので、全体では９０個のカギが存在するということにはならないようですが、なぜ４５個なのでしょうか？

回答No.1

noname#8027 · ベストアンサー

スポーツで総当たりの組み合わせのようなものです。
A～Jさんの10人がいるとすると、下図で、それぞれの
人の持っている鍵は１行の中のo,xの和だと考えると、
全員が９個ずつもっています。ところが、共通鍵です
から、「Aさんの持っているBさん用の鍵」と「Bさんの
持っているAさん用の鍵」は同じものです。ですから、
全てのoの鍵には、全く同じxの鍵がありますから、鍵
の個数（というか、鍵の種類数ですが）は、当初考え
た９０個の１／２ということになります。

考え方が分かれば、図などなくても、ｎ人の時は、
n×(n-1）×（1/2）
となることがわかるはずです。

_ABCDEFGHIJ
A_ooooooooo
Bx_oooooooo
Cxx_ooooooo
Dxxx_oooooo
Exxxx_ooooo
Fxxxxx_oooo
Gxxxxxx_ooo
Hxxxxxxx_oo
Ixxxxxxxx_o
Jxxxxxxxxx_

お礼

なるほど、なるほど。
明快にご説明いただきまして、ありがとうございます。

Ａの持っているＢ用のカギと、Ｂの持っているＡ用のカギは同じですもんね。

今週の日曜に初級シスアドの試験を受験しようと思ってます。誠にありがとうございました。

回答No.3

dolcegelato

みなさんが説明されている通り、
同じ鍵を持つので、お互い重複しますよね。
何通りの組み合わせになるかというのを考えればいいと思います。
公式は皆さん書かれているので省略します。

お礼

わざわざご回答を頂きましてありがとうございました。
２人の間では共通のカギを持つということを見落としておりました。

回答No.2

noname#16258

共通鍵方式ではメッセージをやり取りする２名につき１つの鍵が必要です。
９人は多いので４人の場合で説明します。Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄがいたとします。ＡさんとＢさんの鍵を鍵ＡＢとします。
Ａさんの持つ鍵は鍵ＡＢ,ＡＣ,ＡＤ
Ｂさんの持つ鍵は鍵ＡＢ,ＢＣ,ＢＤ
Ｃさんの持つ鍵は鍵ＡＣ,ＢＣ,ＣＤ
Ｄさんの持つ鍵は鍵ＡＤ,ＢＤ,ＣＤ
です。
共通鍵暗号方式でＮ人が参加する場合の鍵の合計数を
公式にするとＮ（Ｎ－１）/２です。
数学で言うＮ個の中から２つの組み合わせ。つまりＮＣ２になります。Ｃはコンビネーション。
また、共通鍵暗号方式でＮ人が参加する場合に個人が管理する鍵の数を公式にするとＮ－１です。

お礼

yuuki111さんのご説明も、明快ですっきりと理解できました。おかげさまで助かりました。

ＡＢ,ＡＣ,ＡＤ・・・と例示していただいたのは助かりました。