導関数について

質問

区間(0,1)上で微分可能でその導関数が(0,1)上で不連続な関数の例を教えていただきたいのですがよろしくお願いします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

f(x)
=x^2sin(1/x) (x≠0)
=0 (x=0)

という関数は(-∞,∞)で微分可能ですが、その導関数はx＝０で不連続です。

…という例でいいのですか？

(0,1)という区間にこだわるのならg(x)=f(x-1/2)などとすればいいだけです。

回答No.4

egkeladhos

どうも問題の理解が違っていたようです．
”[0,1]で不連続”という言い方をしたとき，一応次の解釈が可能です．
1）[0,1]の区間すべての点において不連続
2) [0,1]の区間の有限な点において不連続
しかし，2)の意味であれば，[0,1]の区間の有限個の点と断った方がよいと思います．第一義には，1)を指すものと考えられます．
あなたの意向が2)を指しているということであれば,このような例は，ほかの方が例を挙げられている以外にもいくらでもあげられるのではないかと思います．
私の回答は，1)の意味だと思い回答しました．関数f(x)の存在は，ルベーグ積分を使えば可能です．

回答No.2

egkeladhos

確かリーマンかルベーグの不連続関数の例があったと思われますが，厳密な議論は別にして，イメージとして次の例はどうでしょう．
［0,1]で定義された次のf(x)を考える．
f(x)＝LimLim［Integral（1－cos（n!pi*x)＾2m）］（ｍ→∞，ｎ→∞）
Integral：積分　n!：ｎの階乗　pi：円周率　
ｆ(x)はある関数の積分であるので，連続であり微分可能．
その導関数は，次の式で表されるので，
LimLim［Integral（1－cos（n!pi*x)＾2m）］（ｍ→∞，ｎ→∞）
この導関数f'(x)の実体は，次のようになり，［0,1]のどこでも不連続．
ｆ’(x)＝　 1　（x:無理数）
　　　 ＝ 0　 (x:有理数）
この関数はディリクレ関数といわれるものを反転したもの．

補足

このfの定義は有効ですか？積分は存在するのでしょうか？あと積分の後で極限を取っているので一般には微分可能性や連続性でさえも言えないですよね？この場合は言えるのでしょうか？

回答No.1

yaksa

＞ (0,1)上で不連続な関数
とは、(0,1)で連続でない関数（不連続点が存在する）関数のことですか？
それとも、(0,1)上でいたるところ不連続ということですか？そうなると、けっこう話がやっかいな気もしますが。

どっちの意味にしろ、(0,1)上で不連続な関数f(x)を考えて、
g(x) = ∫_[0,x] f(X)dX
とおけば、題意を満たすと思います。

補足

早速の回答ありがとうございます。これは自分でも考えましたがfの不連続点でgは微分可能ではないですよね？例えば階段関数をxまで積分したものはジャンプするところで微分可能ではないです。あと(0,1)上で不連続というのはある不連続な点が(0,1)上に存在するだけでいいです。いたるところ不連続である必要はないです。書き方が不十分ですいません。