(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)=0の場合にのみS1=S2

質問

数学の宿題で

(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)=0の場合にのみ
S1=S2になることを証明せよ。

という問題がありました。
私は真理値表を書いて証明しました。

S1　S2　￢S1　￢S2　S1∩￢S2　￢S1∩S2　(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)
0　　0　　　1　　　　1　　　　　0　　　　　　　0　　　　　　　　　0
0　　1　　　1　　　　0　　　　　0　　　　　　　1　　　　　　　　　1
1　　0　　　0　　　　1　　　　　1　　　　　　　0　　　　　　　　　1
1　　1　　　0　　　　0　　　　　0　　　　　　　0　　　　　　　　　0

S1とS2が両方0または1の時に(つまりS1=S2、両者が同じである時に)
(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は0になります、と説明しました。
そしてその下にベンダイアグラムを書きました。
二つの円が少しずれて重なりあっていて、その重なった部分だけは0になります。
そして、二つの円が完全に一致すると(S1もS2も余白がなくなるので)すべて0になる、
という説明を添えました。

それを見て教授は「この表ではすべての場合が説明できない」と言っています。
例えばベンダイアグラムでS1とS2が完全に一致していないときに
任意のXをそのS1とS2の外にとれば、
((S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は一致していないので表によると1になるはずなのに)
(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は0になるじゃないか、
と教授は説明しました。
それを聞いて混乱しています。
教授は「(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は"∪(union)"で判定しているのだから
全体が0になるには(S1-S2)か(S2-S1)の両方またはどちらかが0でなければならない、
それらが0になるにはS1とS2が同じでなければならない」と証明してほしかった、と言っています。
私と教授、どちらが正しいのでしょうか?

回答No.4

BLUEPIXY · ベストアンサー

#2です
集合の要素の数で要素の数が０の時を０
０以外の時を１としても、
やはり同じですね。
ベン図を書けばわかりやすいと思います。
＃２のお礼の部分は結局同じことを言ってるに過ぎません。
>証明してほしかった
は、証明が間違っているということにはなりません。
限定された条件の時の場合を全て尽くして説明できるのであれば、それでも証明としては充分だと思います。
ただ、その説明の
「二つの円が少しずれて重なりあっていて、その重なった部分だけは0になります。
そして、二つの円が完全に一致すると(S1もS2も余白がなくなるので)すべて0になる」
がちょっと変なのかなと思います。
例えば、
重なった部分が０になるとは、
要素の数が０の意味だと重なっていないということだし、
１あるいは０の値を意味するのだったら、重ならない部分は、
０あるいは１で一致するので、よくわからない説明です。

ベン図を書いて説明するなら
式はS1とS2の重ならない部分の全体を表すので、
式が０になるには、そういった部分（重ならない部分）がなければならない（つまり一致している必要がある）と説明すればよかったと思います。
これは、結局教授のいう説明して欲しかった証明と同じです。

この説明が悪いので点があげられないと言われたらしょうがないですが、証明が悪いので点があげられないというなら、変だと思います。
私が正しいか、教授が正しいかと言えば、
式が正しいので、その点については別にいうことはありません。
あなたの証明がダメな理由として、教授が言っている点は間違っていると思います。
それを直接指摘するのは、教授にとって受け入れがたいかもしれないので、今後睨まれたりするのかもしれません。
だから、そこの所をはっきりさせたいのなら、
自分で指摘するのではなく、
教授自身におかしいと気づかせるような質問をするべきです。
例えば、「教授自身が指摘する、表では１になるはずなのに、０になる場合とは、S1とS2がどのような場合ですか？」と聞いてみればいいと思います。

お礼

>>証明してほしかった
>は、証明が間違っているということにはなりません。

そうですよね。教授の証明の仕方が正しいのは分かりますが、
私の証明が間違っていることとは関係がありませんよね。

私の説明では要素数なのか値なのか、はっきりしてませんでしたね。
値のつもりだったのですが、引き算をしてしまうと
0ではなく空集合になってしまうので要素数なのかな…とまだはっきりしてないです。(^^ゞ

(私の説明はまずかったかもしれませんが)証明自体は正しいみたいですね。
教授の持っていた本にも同じように説明されてましたし。それを見てうろたえてましたし。
実は昨日、教授の授業があったんですけど
私が(他の宿題のことについて)二回発言して
一回目は間違った解答をしたのですが
二回目に正しい解答をしたら「よく出来た」と褒めてくれました。
結局今回の質問の基となった問題には触れずにわだかまりもなく終えました。
結果よかったと思ってます。
ありがとうございました!

回答No.3

パんだ パンだ（@Josquin）

＞2^2で4通りの場合しかあり得ません(よね? 汗)。
そうですね。表の下の説明に　S1=S2　⇒　(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)=0　しか書いてなかったので。
「逆に、(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)=0　のときは S1=S2=0 または S1=S2=1 でなければならない。」という説明をつければいいのでは？

お礼

(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)=0　のときは S1=S2=0 または S1=S2=1 でなければならない。」という説明

>S1とS2が両方0または1の時に(つまりS1=S2、両者が同じである時に)
(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は0になります、と説明しました。

うーん、既にしているのですが…。
ありがとうございました。

回答No.2

BLUEPIXY

演算の結果が０になるということは、
Ｓ１とＳ２が１と０の値を取りうるという意味だと思いますが、その意味においては、
全ての場合を尽くしているので、
S1=S2である時に(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は0になる
は正しいと思います。
教授の言う
「任意のXをそのS1とS2の外にとれば、
((S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は一致していないので表によると1になるはずなのに)
(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は0になるじゃないか」
は、
(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は0になる
ではなく
(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)はφ（空集合）になるの意だと思いますが。
完全に一致していない時、（空集合同士でなければ）
(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は空集合にはなりません。
逆に、
完全に一致しないという仮定のもとに
(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)の要素の数が０になる（空集合になる）場合とは、
実はS1とS2が一致しない部分がなかったという意味でもあります。
なので
その教授のいうダメな場合という説明は間違っていると思うのですが。

お礼

ありがとうございます。

>演算の結果が０になるということは、
>Ｓ１とＳ２が１と０の値を取りうるという意味だと思いますが、その意味においては、
>全ての場合を尽くしているので、
>S1=S2である時に(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は0になる
は正しいと思います。

ですよね。私もそう思います。
…ただ、この授業は形式言語を取り扱うための数学の授業なので
もしかすると0と1以外の値も考慮しないといけないかもしれません。
それでもまだ私には証明できる自信があります。
そこで出来ればまた確認して戴きたいのですが

仮にS1が{a, b, c}, S2が{b, c, d}だとすると
(S1-S2)={a}
(S2-S1)={d}
になり、(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は{a, d}で要素数は2で0にはなりません。

仮にS1が{a, b, c}, S2が{a, b, c}だとすると
(S1-S2)={λ}
(S2-S1)={λ}
になり、(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)は{λ}で要素数は0になります。

当然、S1とS2が{λ}であれば要素数はそのまま0になります。

これで十分な証明だと思われますか?
それと…もし仮に私が正しいとしたら
教授にそうはっきりと言うべきでしょうか?
私は正しい答えが知りたかっただけですし、
教授は某有名州立大学卒でプライドもあると思うので
「やっぱり教授が正しかったです」とお茶を濁してもいいんですが…。
また質問してしまいましてすみません。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

確かに、真理値表から判断して、　(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)=0　⇔　S1=S2　のようですが、
「(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)=0の場合にのみ」の「のみ」というのが証明できていません。
それが、「この表ではすべての場合が説明できない」ということです。

ただ、私にもその先はちょっとわかりかねます。
中途半端ですみません。

お礼

ありがとうございます。
教授も混乱しているようなのですが
S1,S2の二つの要素があり
0,1の二つの状態があるので
2^2で4通りの場合しかあり得ません(よね? 汗)。
それは私の表にも示されています。
そのうちの2通りが0になり
残りの2通りが1になるので
「(S1∩￢S2)∪(￢S1∩S2)=0の場合にのみ」の「のみ」は
説明できていると思っています。
やはり何か間違っていますでしょうか?