解説の解説を御願いいたします。

質問

御世話になります．
以下の幾何の設問について，∠O'OB = 90°となる理由を出題者に御伺いしたところ，コメント欄#7の回答をいただきました．

http://mathematician.blog.jp/archives/20211203.html

数学の知識に疎いせいか，何を仰っているのか理解できなかったのですが，御分かりになる方がいらっしゃいましたら解説をいただけないでしょうか．

回答No.8

tmppassenger · ベストアンサー

まあ実際に書いておくと、私は大円の直径を1として計算したのでOを原点、A(-1,0) B(1,0) P(-3/5,0) Q(-1/5,0) R(-1/5,2/5) S(-3/5, 2/5)となる。

以下、K=√3とする。
今小円O'とOCとの接点を (t, Kt) とおく。又小円の半径をrとすると、小円の中心O'は (t-Kr/2, Kt+r/2)となる。従って：

* 小円がRを通る　↔ (t-Kr/2+1/5)^2 + (Kt+r/2 - 2/5)^2 = r^2 (1)
* 小円が大円と接する　↔ OO' + r = 1 ↔ (t-Kr/2)^2 + (Kt +r/2)^2 = (1-r)^2 (2)

(1)を変形すると 20t^2 + (-2-K)r + (2-4K)t + 1 = 0 (3)となる
(2)を変形すると r = -(1/2)(4t^2 - 1) (4)となる。

(4)を(3)に代入すると、
(48+4K)t^2 - (8K-4)t -K = 0 (5)となる（繰り返しますが、K=√3。結構すごい式）

(4K-2)^2 + K(48+4K) = 32K+64 = 16(4+2K) = {4(1+K)}^2であり、
1/(48+4K) = 1/4* (1/(12+K)) = (1/4)(1/141) (12-K) = (1/4)(1/3)(1/47)(12-K)
(4K-2) + 4(1+K) = 2(4K+1)
(4K+1)(12-K) = 47K であるから、
(5)の正の解として、t=1/(2K)がでる。（もう一つの解は負なので不適）。

(4)から r=1/3 となって、確かに小円は大円の半径の1/3
ついでにO'の座標は確かに (0, 2/3)となる。

回答No.7

staratras

No.２，３，５で断片的に回答してしまったのでわかりにくくて申しわけありません。回答の流れは次のとおりです。

「頂点Rを通り弧ABと辺OCに接する円の面積を求めよ。」という問題文なので、求める小円が満たすべき条件は次の３つです。→は座標幾何で解く場合の条件

１，頂点Rを通ること→（−１．２）を通ること
2.円弧ABに接すること→x^2+y^2=25、（ただしy>0）に接すること
3．辺OCに接すること→y=√3ｘに接すること

3つ同時に考えることはできないので、2→3→1の順で考えましたが、確かに2から小円の式をx^2+(y-(5-r))^2=r^2と「決め打ち」してしまうのは論理の飛躍ですね。最終的には１，２，３すべてを満たす円が得られましたので「結果オーライ」ではありますが、答案としては不十分でした。失礼しました。

回答No.6

tmppassenger

なので

> O'OはOBに対して垂直、ということを『仮定して』計算をすると、結果として正方形PQRSが小円に接することは分るので、結果OKということは出来る。

のですが、

> ただ逆に問題の条件からまともに小円と大円の接点を出そうすると、実際にはかなりの計算が必要。

回答No.5

staratras

No.1&2です。このようにして求めた小円の式
x^2+(y-10/3)^2=25/9 の左辺に（x,y）=(-1.2)を代入すると成り立ちますので、「正方形の条件」も満たします。

回答No.4

tmppassenger

「小円が大円に内接しているならば、接点、小円の中心、大円の中心が一つの直線上にある」のは、それはそうなんですが、問題はこの問題で「大円と小円の接点Dが、大円の弧AB上で、直径ABから最も離れた点になっている」というのが明らかかどうか、という点。

実際正三角形の頂点Cのすぐ近くで、正三角形のOCと大円の弧ABとに両方共接する「すごく小さい」小円を考える事が出来る。この場合、O'もCの直ぐ近くにあるので、∠DOC = ∠O'OE はすごく小さく、30°にならないし、O'OはOBに対して垂直でない。この条件で、小円に接するように適当に正方形を大きくして動かすことは出来る。

従って、正方形の大きさと位置の情報をどうにか使わないと、「O'OはOBに対して垂直」ということは導けない。

O'OはOBに対して垂直、ということを『仮定して』計算をすると、結果として正方形PQRSが小円に接することは分るので、結果OKということは出来る。ただ逆に問題の条件からまともに小円と大円の接点を出そうすると、実際にはかなりの計算が必要。

回答No.3

staratras

No.2です。座標幾何で半径５の円を考えたのは正方形の条件からでした。「正方形の条件は不要不急(？)のようです。」というのは言い過ぎです。失礼いたしました。

回答No.2

staratras

大小二つの円があって、小円が大円に内接しているならば、接点、小円の中心、大円の中心が一つの直線上にあるのは、明らかでしょう。なぜならば、二つの円の接点では大小の両方とも接線(共通の接線）が引けて、大小どちらの円の中心もその接点を通り接線に垂直な半直線上にあるからです。

正三角形や正方形が問題の図に加わっているので少し戸惑いますが、座標幾何の力を借りるまでもないと思います。座標幾何を使うなら次の方法が簡単でしょう。

小円は大円(半円弧）と（0,5)で接するから小円の半径をrとすれば、(r>0)
x^2+{y-(5-r)}^2=r^2とおける。
小円は正三角形のOCである直線y=√3x　と接するので、小円の中心(0,5-r)とこの直線までの距離がrに等しいから
｜0-(5-r)|/√(√3^2+1)=r ∴|r-5|=2r 　r>0に留意してこれを解いてr=5/3

正方形の条件は不要不急(？)のようです。

回答No.1

asuncion

出題者に引き続きたずねてみたらどうですか？