多項式

質問

実数係数の二変数多項式で
R×R から R>0 への全射と
なるものは存在しますか？

R は実数の集合
R>0 は正の実数の集合
のことです。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

意外とあっさり見つかった。

A, B, Cを実数、A>0とすると、f(x) = Ax^2 + Bx + Cの領域は、f(x) ≧ C - (B^2)/4Aである。
よって、yの一変数多項式 A(y), B(y), C(y)で
* A(y) > 0
* g(y) = C(y) - ((B(y))^2) / (4A(y))と置いたとき、g(y) > 0
* lim[y→∞] g(y) = 0
なるものがあれば、A(y)x^2 + B(y) x + C(y)がその一例となる。

例として A(y) = 1+y^2, B(y) = 2y, C(y)= 1とすれば g(y) = 1- y^2 / (1+y^2)であるから、たしかにそうなるので、 (1+y^2)x^2 + 2yx + 1 が問題の例となる。

お礼

ありがとうございます。
見つけ方についても大変分かりやすく解説していただき感謝しています。

回答No.2

f272

確かに√(x^2+y^2) は多項式とは言わないな。x^2+y^2と読み替えてください。

お礼

f(x,y)=
x^2+y^2 (x,y)≠(0,0)
1 (x,y)=(0,0)
のようにする、ということですよね…？

こういうものを多項式と呼ぶのでしょうか？

f(x,y)が多項式ならば、f(x,y)はそもそも
連続な関数ではないでしょうか…？

回答No.1

f272

f(x,y)=√(x^2+y^2)
であればR×R から R≧0 への全射となるので，f(0,0)だけ別の正の値に定義しなおせばR×R から R>0 への全射となる。

お礼

f(x,y)=√(x^2+y^2) って多項式なんですか？