幾何学の証明

質問

『低角ＸＯＹ内の１点Ａから出た光線がＯＸに当たり反射し、その反射光線がＯＹに当たり再び反射する。この２度目の反射光線と最初Ａから出た光線とのなす角は常に一定であることを証明せよ。』

この問題が分かりません。途中の過程がよく分かるように証明していただけるとありがたいです。お願いします。

回答No.1

numa00 · ベストアンサー

図を書いて一度考えてみましたか？

Aから出た光が、頂点Oに向かっていく方向に出た時は、こんな感じです。
（1）XOYのなす角をα°とします。
（2）定点Aから、OXに対してβ°の角度で光を発したとします。つまり、
この光がOXに当たる点をBとすると、角ABXがβ°になるということです。
（3）さて、Aから出た光ABが半直線OXで反射するとして、その反射光がOYと
交わる点をCとします。すると、角CBO＝角ABX＝β°です。
（4）三角形OBCに着目します。三角形の内角の和は180°ですから、角OCB＝
（180-α-β）°になります。
（5）反射光BCがOYで再度反射します。点Cで反射して、線分ABと交わる点を
Dとします。さっきの（3）と同様に、角DCY＝角BCOですから、（180-α-β）°
です。
（6）ここで、三角形BCDに着目します。角DBC＝（180-2β）°です。また、
角BCD＝｛180-2x（180-α-β）｝°＝（2α＋2β-180）°です。
（7）2度目の反射光線CDと最初Aから出た光線ABのなす角度は、角CDBなので、
三角形の内角の和-角DBC-角DCB＝180-（180-2β）-（2α＋2β-180）＝
（180-2α）°になります。
（8）つまり、点Aからどんな角（β）で光が出ようとも、問題の角はβとは
無関係に（180-2α）°になります。

図を書きながらだと分かると思うのですが。
もし不安なら、点Aから出る光がOから遠ざかる方向のときも同じように考えて
みてはいかがでしょうか。

回答No.2

taropoo

鏡の問題は元の図形を鏡を軸にパタっと倒してやれば光線は直線で表されるので、
この場合だとＹをＯＸを軸に対称点へ移した点をＹ’、ＸをＯＹ’を軸に移した点をＸ’として
角ＸＯＹの中から角Ｙ’ＯＸ’の外まで半直線をビーっと引いてやれば、あとは簡単な中学の数学です。

この手の問題は東大模試にも応用されていて正方形ＯＡＢＣのＯにある光源から辺に４回反射してＢにたどり着く光路の数を求めよなんて問題もあります。

東大受験用にも中学生用にも応用できてしまうのはやわらか頭の典型の１つですね。