ウェアリング問題のｇｋとＧｋの違いは？

質問

ｇ（ｋ）とＧ（ｋ）の具体例を、ｋの値を出来るだけ数多く採って、ご解説つきで、お示し下さい。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

g(k)
は全ての整数を表すことに必要なs個の自然数のk乗べきの和での最小のsの値

例)
k=4の時
79=16+16+16+16+15
は16=2^4が4個+1^4が15個の
19 個の 4 乗数で表され、18個以下の4乗数で表すことはできないから
g(4)≧19
全ての自然数は19 個以下の 4 乗数で表されるから
g(4)=19

G(k)
は,全ての十分大きなある定数よりも大きな全ての整数を,
正の整数のk乗の多くともs個の和で表すことができるような
最も小さな整数sの値

例)
k=4の時
13792よりも大きな全ての整数は

13808=9^4+2*7^4+3*5^4+7*3^4+3
126976=16^4+15*8^4
31*16^n={2^(n+1)}^4+15*(2^n)^4
のように
正の整数の4乗の多くとも16個の和で表すことができるから

G(4)=16
だから
G(4)=16<19=g(4)
--------------------------------------
G(2)=4=g(2)
23=2^3+2^3+7→g(3)=9
4≦G(3)≦7<9=g(3)
6≦G(5)≦17<37=g(5)
9≦G(6)≦24<73=g(6)
等
https://ja.wikipedia.org/wiki/ウェアリングの問題
参照願います

お礼

またまた、毎度の事ながら、誠に有難う御座います！

補足

Ｇ（ｋ）の場合の「定数」は、どの様にして見出されるのでしょうか。

回答No.2

muturajcp

G(k)
は,全ての十分大きなある定数よりも大きな全ての整数を,
正の整数のk乗の多くともs個の和で表すことができるような
最も小さな整数sの値

k=4の時
「定数」
13792=9^4+3*7^4+2^4+12
は
9^4が1個
7^4が3個
2^4が1個
1^4が12個の
17個の4乗数で表され、16個以下の4乗数で表すことはできないが

13792よりも大きな全ての整数は

13808=9^4+2*7^4+3*5^4+7*3^4+3
126976=16^4+15*8^4
31*16^n={2^(n+1)}^4+15*(2^n)^4
のように
正の整数の4乗の多くとも16個の和で表すことができるから

G(4)=16

https://ja.wikipedia.org/wiki/ウェアリングの問題

にあるように
Harold Davenportは1929年,G(4)=16であることを、
1から14mod16に合同な十分(13792より)大きな数は
4乗数の14個の和として表すことができることを示し

15mod16に合同な(13792より)大きな数は
4乗数の15個の和として表すことができることを示し
0mod16に合同な(13792より)大きな数は
4乗数の16個の和として表すことができることを示す

ことで、
証明した
(ただし
13792=0mod16は
17個の4乗数で表され、16個以下の4乗数で表すことはできない
}

お礼

誠に有難う御座います。

補足

「定数」の割り出しは如何にするのでしょうか。