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任意の角を３等分する代数的近似式はありますか
幾何学的には不可能なものを代数を使って近似的に示せるほかの例もありましたら教えてください。
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参考 URL をもう一つ ↓ 代数方程式の解を求めて 六章 ５次方程式の代数的解法の不可能性 九章 角の３等分線の作図不可能性
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- 178-tall
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訂正 三角関数の「n 倍角公式」を使う方法だと、n が 4以下なら「代数的」に解けます。 けど、5 を超えると「代数的」に解けず、近似的手法になる。
お礼
むずかしいですが、できる限り勉強します。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>３でなくｎ等分でも扱えるのかなと思うようになりました 。 三角関数の「n 倍角公式」を使う方法だと、n が 3以下なら「代数的」は解けます。 けど、3 を超えると「代数的」には解けず、近似的手法になる。
- staratras
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「任意の角を３等分する代数的近似式」の意味がよくわかりませんが、「任意の角を近似的に３等分する代数的な方法」だという前提で回答します。 「任意の角を３等分する」ということは、下の図で∠AOD（3θ）が与えられたとき∠AOB（θ）を作図することであり、これを長さで言い換えると、OE(a)が与えられたとき、OH(x)を求めることです。(DE,BHはそれぞれDとBからOAに下した垂線）計算の便宜上OA=OB=OC=OD=2とすると、cos3θ=a/2,cosθ=x/2 だから、3倍角の公式に代入して整理すると、次のxについての3次方程式(3等分方程式）を得ます。 x^3-3x-a=0 …（１） 「コンパスと定木だけでは任意の角を3等分する作図ができない」ということは、任意のaについて3次方程式（１）は加減乗除と平方根だけでは解けないということです。もちろん3次方程式ですので、立方根を使えば解が求められますが、問題は立方根を含む長さはコンパスと定木だけでは作図できないということです。 下の図は実は60度を3等分したものですが、このとき（１）はx^3-3x-1=0 となりこれを解くと題意を満たす解は，x=1.879385242…となります。この長さを厳密にOHに取ることができればθ=20度となるはずです。 xの長さの精度とθの角度の精度との関係を調べてみると、次の通りです。 (x=1.88,θ≒19.948度)、(x=1.879,θ≒20.0322度)、(x=1.8794,θ≒19.99876度)、(x=1.87938,θ≒20.000439度)この方法で任意の角について近似的に3等分ができます。 余談ですが、近似的に20度を作図するだけであれば、直角をはさむ2辺が11:4であるような直角三角形を作図するのが最も簡単で、この手抜きの方法でもarctan(4/11)≒19.9831度が得られます。
お礼
ご教示をもとに勉強させていただきます。
- 178-tall
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>幾何学的には不可能なものを代数を使って近似的に示せるほかの例もありましたら教えてください。 題意がよく判りません。 ↓ 参考 URL 「角の二等分と三等分法」pdf の「角の三等分問題」に、cos の 3 倍角公式を利用する例があります。 「4 三等分法」には、 3 次方程式の解は、3 乗根を使わなければ表現できませんので、作図不可能とわかりました。 とあります。 けど、「代数的」には解けますネ。 … Cf. No.1 さんのコメント。
お礼
おはなしをうかがっていると、３でなくｎ等分でも扱えるのかなと思うようになりました 。
- neKo_quatre
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例えば、70度って角度があったとして、3等分すると、23.3333…度。 tan70度=2.7474774194546222787616640264977 tan23.3333…度=0.43135789393291657051999551581001 なので、 ┣Ｃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┣Ｂ ┃ ╋━━━━┻ Ｏ Ａ OA=1 OB=0.43… OC=2.7… の、 ∠OAB=23.3333…度 ∠OAC=70度 とか。
補足
私には難しいご説明でした。せっかくのご教示が猫に小判で、申し訳ないと思います。
お礼
ご教示の資料を大切にしたいと思います。