正規変換に関する質問です
２次元ユニタリ空間Ｖの正規変換をＴとする。
このとき、次のようなＶの部分空間のＷ_0,Ｗ_1,Ｗ_2が存在する。
(1)Ｗ_1,Ｗ_2はともにＴ-不変
(2){0}=Ｗ_0⊂Ｗ_1⊂Ｗ_2＝Ｖ
(3)dim(Ｗ_1)＝１ dim(Ｗ_2)＝２
このとき・・・
Ｗ_1は(計量空間)Ｗ_2の部分空間であるからＷ_1^⊥をＷ_1の直交補空間とすると
Ｗ_2＝Ｗ_1◎Ｗ_1^⊥(直和)となる・・・(※)
Ｗ_2の任意の元をu[2]とすると、u[1]∈Ｗ_1 u[1']∈Ｗ_1^⊥を用いて
u[2]=u[1]+u[1']と一意的に表せる。
このとき
Ｔ(u[1'])=T(u[2])-T(u[1])
今、Ｗ_1,Ｗ_2はともにＴ-不変であるから
T(u[2])∈Ｗ_2 T(u[1])∈Ｗ_1となる。ここで再び(※)より
T(u[2])-T(u[1])＝αu[1']と一意的に表せる(αは定数)
つまりＴ(u[1'])=αu[1']⊂Ｗ_1^⊥
とできたわけだが、u[1']は任意にとれるので
これは結局、Ｔ(Ｗ_1^⊥)⊂Ｗ_1^⊥
つまりＷ_1^⊥がＴ-不変であるということである。
さて・・・
Ｗ_1の元のうち、ノルムが１となるものx[1]をとる。
さらに、Ｗ_2の元でＷ_1の任意の元と直交するもの全体
つまりＷ_1^⊥の元のうち、ノルムが１となるものx[2]をとる。
すると<x[1],x[2]>はＷ_2(Ｖ)の正規直交基底である。
また、Ｗ_1とＷ_1^⊥はともにＴ-不変であるから
今、Ｗ_1とＷ_1^⊥の次元がともに１であることを考慮して
Ｔ(x[1])=αx[1] Ｔ[x[2]]=βx[2]なる数αβが存在するといえる。
よって、x[1]x[2]はＴの固有ベクトルであるともいえる。
私は、一般にｎ次元のユニタリ空間Ｖの正規変換Ｔの固有ベクトルのみからなるＶの正規直交基底がいつでもとれることを示そうと思い、まず一番簡単なｎ＝2の場合について、上記のように考えたのですが、あっているでしょうか？
私は、一般のｎ次元ユニタリ空間の場合にも下記の定理
[定理]
ｎ次元ユニタリ空間Ｖの正規変換をＴとする。
このとき、次のようなＶの部分空間のＷ_0,Ｗ_1,・・・Ｗ_nが存在する。
(1)Ｗ_iはともにＴ-不変(i=1,2,・・・n)
(2){0}=Ｗ_0⊂Ｗ_1⊂・・・Ｗ_n-1⊂Ｗ_n＝Ｖ
(3)dim(Ｗ_i)=dim(Ｗ_i-1)+1 (i=1,2,・・・n)
を使って同じような操作を続けて、最終的にはｎ個の固有ベクトルからなるＶの正規直交基底が得られるんだと思っているのですが・・。
どなたか添削よろしくお願いいたししますm(_ _)m
補足
ありがとうございます。 これは積水の製品のようですが、私の質問している製品（立山アルミ）と互換性があるのでしょうか？