数II 指数方程式

質問

この問題の(2)が解説を読んでも理解できませんでした。
(2)の解説の4行目 (1)を満たす～ というところから分かりません。
どなたか説明してください！
お願いします。

回答No.1

jcpmutura

aを定数とする
xの方程式を
{log_2(x^2+√2)}^2-2log_2(x^2+√2)+a=0
とする
log_2(x^2+√2)=t…(1)とおくと,
方程式は
t^2-2t+a=0
x^2≧0より
x^2+√2≧√2だから
log_2(x^2+√2)≧log_2(√2)=1/2
したがって
t≧1/2…(2)
(1)を満たすxの個数は,

t=1/2の時
log_2(x^2+√2)=t=1/2
log_2(x^2+√2)=1/2
x^2+√2=2^{1/2}=√2
x^2+√2=√2
x^2=0
x=0
の1個

t>1/2の時
log_2(x^2+√2)=t>1/2
log_2(x^2+√2)>1/2
x^2+√2>2^{1/2}=√2
x^2+√2>√2
x^2>0
だから
{x>0,-x<0}の2個

t^2-2t+a=0
より,
-t^2+2t=a
だから
(2)(t≧1/2)の範囲における,
放物線
y=-t^2+2t=1-(t-1)^2
と
直線
y=a
の共有点の
t座標に注意して,
方程式の実数解の個数を調べると,

a>1の時
(t-1)^2≧0
-(t-1)^2≦0
-t^2+2t=1-(t-1)^2≦1<a
-t^2+2t<a
-t^2+2t≠a
だから
y=-t^2+2tとy=aは共有点を持たないから
0個

a=1の時
-t^2+2t=1-(t-1)^2=a=1
t=1
log_2(x^2+√2)=t=1
log_2(x^2+√2)=1
x^2+√2=2
x^2=2-√2
x=±√(2-√2)
の
2個

a<3/4の時
-t^2+2t=1-(t-1)^2=a<3/4
(t-1)^2=1-a>1-3/4=1/4
√(1-a)>1/2
{t-1+√(1-a)}{t-1-√(1-a)}=0
t-1+√(1-a)>0
t=1+√(1-a)>1+1/2=3/2>1/2
log_2(x^2+√2)=t=1+√(1-a)
log_2(x^2+√2)=1+√(1-a)
x^2+√2=2^{1+√(1-a)}
x^2=2^{1+√(1-a)}-√2>0
x=±√[2^{1+√(1-a)}-√2]
の
2個

a=3/4の時
-t^2+2t=a=3/4
-t^2+2t=3/4
1-(t-1)^2=3/4
(t-1)^2-1/4=0
(t-1/2)(t-3/2)=0
t=1/2,又は,t=3/2
t=1/2の時
log_2(x^2+√2)=t=1/2
log_2(x^2+√2)=1/2
x^2+√2=2^{1/2}=√2
x^2+√2=√2
x^2=0
x=0

t=3/2の時
log_2(x^2+√2)=t=3/2
log_2(x^2+√2)=3/2
x^2+√2=2^{3/2}=2√2
x^2+√2=2√2
x^2=√2
x=±√√2

{0,±√√2}
の3個

3/4<a<1の時
3/4<-t^2+2t=a<1
3/4<1-(t-1)^2<1
0<(t-1)^2<1-3/4=1/4
0<(t-1)^2<1/4
-1/2<t-1<0<t-1<1/2
1/2<t<1<t<3/2
1-(t-1)^2=a
(t-1)^2=1-a
{t-1+√(1-a)}{t-1-√(1-a)}=0
t=1±√(1-a)
log_2(x^2+√2)=t=1±√(1-a)
log_2(x^2+√2)=1±√(1-a)
x^2+√2=2^{1±√(1-a)}
x^2=2^{1±√(1-a)}-√2
x=±√[2^{1±√(1-a)}-√2]
の4個