●ゴクミ求めよ。

質問

壊れた扉 投稿日：2017 年 9 月27日(水) 07 時54分51秒
問題 ６０ｘ^2 ＋１＝ｙ^2 が成り立つ自然数の組 （ｘ，ｙ） を２組求めよ。

　　 氏の模倣犯　現る；

239 x^2 - 716 x y + 1192 x + 536 y^2 - 1784 y + 1485 = 0 が成り立つ
　　　　　　　自然数の組(x, y) を　●ゴクミ求めよ。

後藤 久美子 （1974 年3月26日 -） は、日本のモデル、タレント、元女優。愛称は　●ゴクミ。
　　　　　　　　　　東京都杉並区出身。スイス・ジュネーブ在住。オスカープロモーション所属

何れも　漸近線を有するそうです。求めて下さい;

\
2017.9 .26 16 : 09
国民的美少女・後藤久美子さんの長女、エレナさん （２０） 芸能界デビュー

回答No.1

jcpmutura

C:60x^2+1=y^2
C:60x^2-y^2=-1

α=31+8√15
任意の実数tに対して
x(t)=(√15)(α^t-α^{-t})/60
y(t)=(α^t+α^{-t})/2
とすると

60x(t)^2-y(t)^2=-1
だから
(x(t);y(t))はすべて双曲線C上の点となる

x(t+1)=31x(t)+4y(t)
y(t+1)=240x(t)+31y(t)
x(t-1)=31x(t)-4y(t)
y(t-1)=-240x(t)+31y(t)
だから

(x(t),y(t))が双曲線C上の格子点ならば
全ての整数nに対して
(x(t+n);y(t+n))は双曲線C上の格子点となる

(x(0);y(0))=(0,1)は双曲線C上の格子点だから
全ての整数nに対して
(x(n);y(n))は双曲線C上の格子点となる

α=31+8√15
x(n)=(√15)(α^n-α^{-n})/60
y(n)=(α^n+α^{-n})/2
∴自然数の組は
(x(1);y(1))=(4,31)
(x(2);y(2))=(248,1921)
------------------------------

c:239x^2-716xy+1192x+536y^2-1784y+1485=0

x=X+a
y=Y+b

239(X+a)^2-716(X+a)(Y+b)+1192(X+a)+536(Y+b)^2-1784(Y+b)+1485=0
239X^2-716XY+536Y^2+2(239a-358b+596)X+4(268b-179a-446)Y+239a^2-716ab+1192a+536b^2-1784b+1485=0

239a-358b+596=0
2*67*239a-4*67*179b+2*67*596=0
268b-179a-446=0
4*67*179b-179^2a-179*446=0

a=2
268b-358-446=0
134b-179-223=0
134b=179+223=402
67b=201
b=201/67=3

239a^2-716ab+1192a+536b^2-1784b+1485
=239*4-179*4*6+149*8*2+67*8*9-223*8*3+11*27*5
=1

239X^2-716XY+536Y^2+1=0

c':239X^2-716XY+536Y^2=-1
x=X+2
y=Y+3

α=31+8√15
X(t)={(1+3√15)α^t+(-1+3√15)α^{-t}}/(2√15)
Y(t)={(1+4√15)α^t+(-1+4√15)α^{-t}}/(4√15)
とすると
239{X(t)}^2-716X(t)Y(t)+536{Y(t)}^2=-1
だから
(X(t);Y(t))はすべて双曲線c'上の点となる
x=X+2
y=Y+3
だから
(X(t)+2,Y(t)+3)すべて双曲線c上の点となる

X(t+1)=1463X(t)-2144Y(t)
Y(t+1)=956X(t)-1401Y(t)
だから

(X(t)+2,Y(t)+3)が双曲線c上の格子点ならば
全ての自然数nに対して
(X(t+n)+2;Y(t+n)+3)は双曲線c上の格子点となる

(X(0)+2;Y(0)+3)=(5,5)は双曲線c上の格子点だから
全ての非負整数nに対して
(x(n)+2;y(n)+3)は双曲線c上の格子点となる

α=31+8√15
X(n)+2=2+{(1+3√15)α^n+(-1+3√15)α^{-n}}/(2√15)
Y(n)+3=3+{(1+4√15)α^n+(-1+4√15)α^{-n}}/(4√15)
自然数の組は
(X(0)+2,Y(0)+3)=(5,5)
(X(1)+2,Y(1)+3)=(103,69)
(X(2)+2,Y(2)+3)=(6261,4093)
(X(3)+2,Y(3)+3)=(387959,253517)
(X(4)+2,Y(4)+3)=(24047077,15713781)