この脳トレ問題がわかりません。

質問

どなたか教えてください。
解答は崩れた天秤は２、Ａ＝１　Ｂ＝４
ｃ＝３　Ｄ＝２　Ｅ＝５で単位はグラムです。

回答No.1

Le-Livre · ベストアンサー

まず、❷と❹を見てください。
おもりの配置が似ています。
違う点は、
❷の場合、Dが左にあって、Bが右、
❹の場合、Bが左にあって、Dが右にあるということです。

問題文によると、A～Eのおもりは、それぞれ重さが違うことになっているので（この条件を「前提a」と名付けます）、かりに❷の天秤が正常で、釣り合っていたとしても、BとDを逆においた❹では、釣り合わなくなるはずですよね。それなのに釣り合ってしまっています。

逆に❹の天秤が正常で、釣り合っていたとしても、同様に❷では釣り合わなくなるはずです。

ということは、❷と❹のどちらかが壊れた天秤だということが分かります。

（余談ですが、画像上部の「問題解説」のところを読むと、❷と❸のどちらかが壊れているそうなので、この時点で壊れているのは❷であることが確定します。しかし、「問題解説」に頼らなくても、以下のように解くことができます）

では、正常な天秤であることが確定した、❶と❸から分かることを挙げていきましょう。

❶、❸より、それぞれ
B=A+C…(1)
A+B=C+D…(2)
となります。

(1)より、
A=B-C…(3)

これを(2)に代入して、
(B-C)+B=C+D
⇔2B-C=C+D
⇔D=2B-2C…(4)

これらの情報をもとに❷の天秤を見てみましょう。

かりに❷が正常であるとすると、
C+D=B+E…(5)
が成り立つことになります。

(5)に(4)を代入して、
C+(2B-2C)=B+E
⇔2B-C=B+E
⇔E=B-C…(6)

(3)、(6)より、A=Eとなりますが、同じ重さのおもりはないはずです（前提a）。
したがって、先ほどの「かりに❷が正常であるとする」という仮定がおかしかったことになります。
ゆえに、壊れた天秤は❷だということがわかりました。

あとは、正常であることが確定した❹の情報を使いながら、それぞれのおもりの重さを出します。

❹より、
B+C=D+E

この式に(4)を代入して、
B+C=(2B-2C)+E
⇔3C=B+E

この式が成り立つようなC、B、Eの値を考えます。

(i)C=1のとき
左辺=3

前提aより、B+Eの最小値は
2+3=5
となってしまい、どう頑張っても3にはなりません。
したがって、C=1は成立しないということが分かります。

(ii)C=2のとき
左辺=6

前提aより、右辺の和が6になるためには、{1,5}、{2,4}のどちらかの組み合わせしかありません。

また、C=2なので、前提aより「2」が重複する{2,4}の組み合わせは不適です。

さらに、(3)より、B＞Cです。
そのため、ありうるとすれば、(B,E)=(5,1)の場合だけです。
しかし、この場合、(4)よりD=6となってしまうので、やっぱりだめです。

よって、C=2も成立しないことが分かりました。

(iii)C=3のとき
左辺=9

右辺が9になる組み合わせは{4,5}のみです。

(B,E)=(4,5)の場合、(B,C,E)=(4,3,5)の値を(3)、(4)にそれぞれ代入すると、A=1、D=2になります。
とくに矛盾するところはないようです。

今度は(B,E)=(5,4)の場合、同じように(B,C,E)=(5,3,4)の値を(3)、(4)にそれぞれ代入すると、A=2、D=4になります。
DとEの値が「4」で重複してしまうため、こちらは前提aに反しています。

よって、(A,B,C,D,E)=(1,4,3,2,5)であれば成立することが分かりました。

(iv)C=4のとき
左辺=12

前提aより、B+Eの最大値は
3+5=8
にしかならず、どう頑張っても12にはなりません。

よって、C=4は成立しません。

(v)C=5のとき
左辺=15

こちらも同様にB+Eの最大値は
3+4=7
にしかなりません。

よって、C=5も成立しません。

以上から、
壊れた天秤は❷。
おもりの重さは、それぞれ、
A：1グラム
B：4グラム
C：3グラム
D：2グラム
E：5グラム
と分かります。

お礼

お礼遅くなりました。助かりました。ありがとうございました。