くじ5本にあたり2本ある時～ではなく、100本時

質問

よくある
「5本のくじの中に当たりくじ2本が入っている。
同時に2本引くとき、少なくとも1本当たる確率を求めよ」
というパターンですが、
これを数を増やすと解き方がわかりません。
「100本のくじの中に当たりくじが５３本入ってる。
同時に１４本引くときに、少なくとも8本が当たっている確率を求めよ」

樹形図を書くのやっかいな量の場合、
どうやってとけばよいのでしょうか？

回答No.7

noname#227255

他の回答は殆ど見ていませんので、悪しからずご了承ください。

(1)
「5本のくじの中に当たりくじ2本が入っている。同時に2本引くとき、少なくとも1本当たる確率を求めよ」の場合について
まず、同時に2本引くと考えても、1本ずつ別々に2本引くと考えても、結果は同じになります。
この場合、次の3通りがあります。

・2本とも当たり
2C2/5C2=2/5*1/4=1/10－(a)
これを、2C2*3C0/5C2と表しても同様です。

・2本とも外れ
3C2/5C2=3/5*2/4=3/10－(b)
これを、2C0*3C2/5C2と表しても同様です。

・1本が当たりで1本が外れ
1から(a)の確率と(b)の確率の和を引けば求められます。
1-(1/10+3/10)=3/5
また、次のように考えることもできます。(2通りの場合があります。)
1本目が当たりで2本目が外れ
2/5*3/4=3/10
1本目が外れで2本目が当たり
3/5*2/4=3/10
よって、3/10*2=3/5－(c)
これから、(c)の確率を求めるには、2通りの場合を考えなければならないことがよく分かるかと思います。
これを、2C1*3C1/5C2の式を用いて表すと、2C1*3C1/5C2*1/2*2=2C1*3C1/5C2であるから、結局このままの形で用いればいいことが分かります。

なお、少なくとも1本当たる確率は、1から(b)の確率を引けば求められます。
1-3/10=7/10
これは、(a)の確率と(c)の確率の和1/10+3/5=7/10に一致します。
「少なくとも1本当たる確率を求めよ」という場合には、2本とも外れる確率を求めてこれを1から引くことによって計算を簡略化することができる訳ですが、次の問題の場合にはこの考え方のメリットがありません。

(2)
「100本のくじの中に当たりくじが53本入ってる。 同時に14本引くときに、少なくとも8本が当たっている確率を求めよ」の場合について

1～8本目が当たりで9～14本目が外れる確率は、
53/100*52/99*・・・*47/94*46/93*47/92*46/91*・・・*43/88*42/87
これを、(1)での考察と同様に、53C8*47C6/100C14を用いて表すと、
53C8*47*6/100C14*8!6!/14!= 53C8*47C6/100C14*1/14C8

14本のうち8本が当たる当たり方は、14C8通り
これを、14本のうち6本が外れる外れ方の、18C6通りとしても同様
よって、14本引いて8本当たる確率は、(1)での考察と同様に、
53C8*47C6/100C14*1/14C8*14C8=53C8*47C6/100C14－(a)
同様に、14本引いて9本当たる確率は、53C9*47C5/100C14－(b)
同様に、14本引いて10本当たる確率は、53C10*47C4/100C14－(c)
同様に、14本引いて11本当たる確率は、53C11*47C3/100C14－(d)
同様に、14本引いて12本当たる確率は、53C12*47C2/100C14－(e)
同様に、14本引いて13本当たる確率は、53C13*47C1/100C14－(f)
同様に、14本引いて14本当たる確率は、53C14*47C0/100C14－(g)

以上から、求める確率は、
(a)+(b)+(c)+(d)+(e)+(f)+(g)

または、
14本引いて0本当たる確率は、53C0*47C14/100C14－(h)
同様に、14本引いて1本当たる確率は、53C1*47C13/100C14－(i)
同様に、14本引いて2本当たる確率は、53C2*47C12/100C14－(j)
同様に、14本引いて3本当たる確率は、53C3*47C11/100C14－(k)
同様に、14本引いて4本当たる確率は、53C4*47C10/100C14－(l)
同様に、14本引いて5本当たる確率は、53C5*47C9/100C14－(m)
同様に、14本引いて6本当たる確率は、53C6*47C8/100C14－(n)
同様に、14本引いて7本当たる確率は、53C7*47C7/100C14－(o)

以上から、求める確率は、
1-{(h)+(i)+(j)+(k)+(l)+(m)+(n)+(o)}

結果は他の回答と同じになるかもしれませんが、この形が最もシンプルでスマートであると、自分ではそう思っています。（各確率の分母が100C14で統一されます。）

回答No.6

chie65536（@chie65535）

＞しかし、5本のくじの場合、解答に「5本のくじの中から同時に2本引く場合の総数は5C2=10通り」とありました。

５本のクジに「１番」「２番」「３番」「４番」「５番」の番号を付け、「１番２番がアタリ、３～５番がハズレ」とします。この５本のうちの２本を同時に引くと、結果は

１番２番＝＞２本アタリ
１番３番＝＞１本アタリ
１番４番＝＞１本アタリ
１番５番＝＞１本アタリ
２番３番＝＞１本アタリ
２番４番＝＞１本アタリ
２番５番＝＞１本アタリ
３番４番＝＞ハズレ
３番５番＝＞ハズレ
４番５番＝＞ハズレ

の１０通りになります。なので「１０通り」です。

＞なぜ今回は2^2のような方法で総数を出すのでしょうか？

上記のように「全部のクジに番号付け」をしてしまうと「１本だけ当たった場合」の組み合わせの「１番と３番」、「１番と４番」、「１番と５番」…を、すべて「別々の組み合わせ」として数え上げる事になります。

もちろん「それでも答えは出る」のですが「５本のクジに１～５番の番号なんか付いてない」と考えれば、考えるべきは

２本ともアタリ
最初の１本はアタリ、次の１本はハズレ
最初の１本はハズレ、次の１本はアタリ
２本ともハズレ

の４つ（２の２乗）の事象の発生確率を考えるだけで済んでしまいます。

＞自分が何かを混同しているのかもしれませんが。

混同はしていませんよ。単に「答えの出し方が何種類もある」ってだけの話です。

「答えは１つだけど、答えに辿り着くルートが無限にある」ってだけの話です。

「引いたクジと引かなかったクジの全部のクジを考慮して計算する（5C2の10通り、全部の組み合わせで計算する）」のも良いし「引いたクジについてだけ考え、引かなかったクジは無視して計算する（２の２乗の４通りの「結果」についてだけ計算する）」のも良いし、どう計算しても構わないのです。

回答No.5

chie65536（@chie65535）

＞総数　100C14（=4.4該になってしまいました・・・　　
＞100個のくじの中から、くじを14回引くという行為は、
＞100C14と違うのでしょうか？

違いません。それでも計算は出来ますが「無駄が多い」です。

100本のクジから14本を引く、と言う考え方でも確率の計算は出来ますが、数字が大きくなるので、異なる考え方をした方が良いです。

「100C14」と言うのは、本来は「100本のクジに、1番から100番の通し番号を付けて、14本を引く時の、組み合わせの総数」です。「100本のクジを、すべて異なるクジ」として数えてしまいます。

1番から47番の47本がハズレ、48番から100番の53本がアタリ、とした時、上記の「100C14という組み合わせ総数」は

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14番の14本を引いて、全部ハズレ

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15番の14本を引いて、全部ハズレ

1,2,4,5,6,7,8,9,10,12,13,15,17,22番の14本を引いて、全部ハズレ

などの「全部ハズレ」を「異なる組み合わせとして、別々に数えてしまう」ので、組み合わせ総数が「44186942677323600」などと言う巨大な数になってしまうのです。

「全部ハズレ」は「１組」として考えた方が、ずっと簡単になります。つまり「47本あるハズレのうち、どのハズレを引いても、ハズレはハズレで、確率は変わらない」と考えるのです。

＞16384はどこから来たのでしょうか？
＞(1)まず16384がどこからきているのかわかりません。

クジの結果は「ハズレ」か「アタリ」の「２通り」しかありません。

ハズレクジもアタリクジも、どちらも14本以上あるので「14本引いたクジの結果」は「2の14乗」の組み合わせがあります。

14回の結果を×と○の表にすると

××××××××××××××
×××××××××××××○
××××××××××××○×
××××××××××××○○
×××××××××××○××
(略)
○○○○○○○○○○○○××
○○○○○○○○○○○○×○
○○○○○○○○○○○○○×
○○○○○○○○○○○○○○

のように「16384個の表」になります。

つまり「16384通りの結果がある」のです。

この表では「1番のハズレクジ」も「2番のハズレクジ」も区別しませんし、「48番のアタリクジ」も「49番のアタリクジ」も区別しません。

こうすると「最初の１本目のクジでハズレを引く確率は47/100」のように、単純に考える事ができます。

と言うか、元々、クジには「1番～100番の番号が振ってある訳ではない」ので「100本すべてのクジを別々のクジとして考えるのは間違い」なのです。

「100本のクジのうち、どの14本を引いたか？」は、考える必要が無いのです。「引かれなかった残りの86本」は無視して良いし、重要なのは「引いた14本がどういう結果になったか」なのです。

後は「条件に一致する結果（6476個ある）」に対し「その結果が発生する確率」を求め、確率を合計するだけです。

＞(2)8回以上あたるのが6476組とは、どうやってわかるのでしょうか？

１４個のうち８個アタリ→14C8=3003
１４個のうち９個アタリ→14C9=2002
１４個のうち10個アタリ→14C10=1001
１４個のうち11個アタリ→14C11=364
１４個のうち12個アタリ→14C12=91
１４個のうち13個アタリ→14C13=14
１４個のうち14個アタリ→14C14=1

１４個のうち８個以上アタリ→14C8+14C9+14C10+14C11+14C12+14C13+14C14=6476

＞(3)最後の「約48.3379148723903％」
＞ 　　これはエクセルかなにかで出したのでしょうか？

さすがに「手で計算」では無理です。

エクセルで、添付画像のように「ハズレを０、アタリを１にして14個並べた、16384行の表」を作って、0と1の個数に応じて14個分の「残りのハズレクジの本数」「残りのアタリクジの本数」を計算して、残りのクジの本数に従って14個分の発生確率を求め、その確率の積を求めて、1が８個以上ある行のみ抽出して合計しています。

回答No.4

f272

最初の問題だと
当たりをn本引く確率は2Cn/5Cnでハズレををm本引く確率は3Cm/5Cmになり，くじを引く回数2回のうちの当たりが出る巡目を考えると2Cn通りになるのだから
当たりの本数が0のときの確率は2C0/5C0*3C2/5C2*2C0
当たりの本数が1のときの確率は2C1/5C1*3C1/4C1*2C1
当たりの本数が2のときの確率は2C2/5C2*3C0/3C0*2C2
と言うことがわかります。

数を増やしても同じように考えればよいですね。

ところで，14本引いて少なくとも8本あたりの確率ですが
当たりの本数は0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14のどれかであって
当たりの本数が0，1，2，3，4，5，6，7のものを全体から引くよりも
当たりの本数が8，9，10，11，12，13，14のものを直接求めるほうが簡単です。

当たりの本数が8のときの確率は53C8/100C8*47C6/92C6*14C8
当たりの本数が9のときの確率は53C9/100C9*47C5/91C5*14C9
当たりの本数が10のときの確率は53C10/100C10*47C4/90C4*14C10
当たりの本数が11のときの確率は53C11/100C11*47C3/89C3*14C11
当たりの本数が12のときの確率は53C12/100C12*47C2/88C2*14C12
当たりの本数が13のときの確率は53C13/100C13*47C1/87C1*14C13
当たりの本数が14のときの確率は53C14/100C14*47C0/86C0*14C14

回答No.3

chie65536（@chie65535）

因みに。

「クジを１４回引く」ので、組み合わせ総数は16384組あり、そのうち「８回以上当たる」のは6476組あります。

ハズレ（×）、アタリ（○）の組み合わせ16384組を表にした時、最初に表に出て来る「８回以上当たる組み合わせ」は「××××××○○○○○○○○」、次は「×××××○×○○○○○○○」となり、全部で6476組あります。

××××××○○○○○○○○になる場合の確率は「(47/100)×(46/99)×(45/98)×(44/97)×(43/96)×(42/95)×(53/94)×(52/93)×(51/92)×(50/91)×(49/90)×(48/89)×(47/88)×(46/87)」と言う式になります。

×××××○×○○○○○○○になる場合の確率は「(47/100)×(46/99)×(45/98)×(44/97)×(43/96)×(53/95)×(42/94)×(52/93)×(51/92)×(50/91)×(49/90)×(48/89)×(47/88)×(46/87)」と言う式になります。

８回以上当たる6476組について、個々に6476個の式を書き、出てきた6476個の確率を全部足すと、約48.3379148723903％と言う答えが出ます。

なので、全体の式は
{(47/100)×(46/99)×(45/98)×(44/97)×(43/96)×(42/95)×(53/94)×(52/93)×(51/92)×(50/91)×(49/90)×(48/89)×(47/88)×(46/87)}＋{(47/100)×(46/99)×(45/98)×(44/97)×(43/96)×(53/95)×(42/94)×(52/93)×(51/92)×(50/91)×(49/90)×(48/89)×(47/88)×(46/87)}＋...
という、似たようなパターンが6476回繰り返す、長大な式になります。

２つ分書いただけで「かなり長い」ですが、これが「6476個分ある」と考えて下さい。

お礼

（１）は2^14ですね。

しかし、5本のくじの場合、解答に「5本のくじの中から同時に2本引く場合の総数は5C2=10通り」とありました。

なぜ今回は2^2のような方法で総数を出すのでしょうか？
自分が何かを混同しているのかもしれませんが。

補足

初歩的な質問ですいません。

(1)まず16384がどこからきているのかわかりません。
100個のくじの中から、くじを14回引くという行為は、
100C14と違うのでしょうか？

(2)8回以上あたるのが6476組とは、どうやってわかるのでしょうか？

(3)最後の「約48.3379148723903％」
　　これはエクセルかなにかで出したのでしょうか？
　　しかし、全体の式は膨大なので省略されております。
　とてもエクセルにも入力しきれないと思います。
　どうやったら、その数値を導き出せるのでしょうか？

回答No.2

chie65536（@chie65535）

＞どうやってとけばよいのでしょうか？

普通に計算するしかありません。

＞同時に１４本引くときに

「同時に１４本引く」を「引いたクジを戻さないで、１４回引く」と考えます。

１回目でハズレを引く確率は47/100。
１回目でアタリを引く確率は53/100。
１回目でハズレ、２回目もハズレを引く確率は(47/100)×(46/99)。
１回目でハズレ、２回目でアタリを引く確率は(47/100)×(53/99)。
１回目でアタリ、２回目もハズレを引く確率は(53/100)×(47/99)。
１回目でアタリ、２回目でアタリを引く確率は(53/100)×(52/99)。
１回目でハズレ、２回目もハズレ、三回目もハズレ（以下略）

と言う感じで、16384通りの確率をすべて計算し、そのうち「アタリが８回以上」の物の確率を全部足します。

すると「約48.3379148723903％」と言う確率が求まります。

補足

ご回答ありがとうございます。

５本～の場合は、

総数　5C2
全部外れ　3C2
１本だけ当たり　5C2-3C2
１本だけ当たる確率　5C2-3C2/5C2
とＣを使った式で表せます。

１００本のケースだとどう表せばよいのでしょうか？
総数　100C14（=4.4該になってしまいました・・・　　16384はどこから来たのでしょうか？）
全部外れ 47C14　←これは１本もあたりではない場合の数
１本外れ47C1
２本外れ47C2
３本外れ47C3
・・・・・
１３本外れ47C13
これを全部足して、100C14から引けば、「少なくとも8本当たりの場合の数」

100C14-〇〇/100C14
ということでしょうか？

この〇〇の部分は、Ｃだけでなく、ＣとΣが融合した書き方とかはないのでしょうか？

回答No.1

akauntook

その問題を解くための計算式がわかっても仕方ないと思うので、簡単な例、つまりは数字が小さい具体例を用意して、その樹形図から規則性を見出だして、計算式とすれば良いです。

3パターンほど考えれば規則性は見えるはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

「少なくとも1本」
「少なくとも8本」
これがだいぶ違うようですね。