微分 答えが合いません。

質問

Find the values of x for which the function f(x) = 8x-3+2/(x+1) is increasing.

答は　-3/2<x<-½　　なのですが私は　x <ー3/2 , x > -½ だと思うのです。
F’(x) = 8 - 2/(x+1)^2
4x^2+8x+3 > 0
(2x+1)(2x+3) > 0 となるのですが。
私が間違っていれば、どこがおかしいのか指摘して頂けますか？

回答No.1

noname#223065 · ベストアンサー

> F’(x) = 8 - 2/(x+1)^2

　微分して正になっていれば増加ということですね。確かめてみます。

f'(x)
={8x-3+2/(x+1)}'
=8-2(x+1)'/(x+1)^2
=8-2/(x+1)^2　←お考えの通り

8-2/(x+1)^2＞0　←微分して正なら増加（increasing）
8(x+1)^2-2＞0　←(x+1)^2≧0
4(x+1)^2-1＞0
4x^2+8x+4-1＞0
4x^2+8x+3＞0
(2x+1)(2x+3)＞0　←お考えの通り

　ゆえに、「(2x+1)＞0 かつ (2x+3)＞0」または「(2x+1)＜0 かつ (2x+3)＜0」。

「(2x+1)＞0 かつ (2x+3)＞0」より、「x＞-1/2 かつ x＞-3/2」、ゆえに「x＞-1/2」。
「(2x+1)＜0 かつ (2x+3)＜0」より、「x＜-1/2 かつ x＜-3/2」、ゆえに「x＜-3/2」。
　以上より、「x＞-1/2」、または「x＜-3/2」

　お考えの通りの条件となります。模範解答「-3/2＜x＜-1/2」は間違いです。

P.S.

　模範解答「-3/2＜x＜-1/2」は、与えられた関数の減少の条件になってしまっていますね。模範解答が「-3/2＜x-＜1/2『以外』」となっていればまあまあですが、「-3/2≦x-≦1/2『以外』」とすべきでしょうね。

　模範解答「-3/2＜x＜-1/2」にはまだ問題があります。x=-1を含む区間ですが、与式およびそれを微分した式には分母に「x+1」を含む項がありますから、（たとえ条件をあべこべに勘違い、設問のdecreasingがincreqsingに誤記等々だったとしても）「-3/2＜x-＜1/2である」としたいのなら、分母「x-1」を0にしてしまう「x=-1」を除外しておかねばなりません。

お礼

とてもとても勉強になります、有り難うございます。

回答No.2

info222_

>答は　-3/2<x<-½　　なのですが

答が間違っています。

>私は　x <ー3/2 , x > -½ だと思うのです。

これで合っています。

>私が間違っていれば、

間違っていませんよ。

お礼

いつも自分の答えに自信があってもこちらでお伺いする度　模範解答が正しい事がわかります。
なので今回自分の答えが合ってるとわかってびっくりしてます。
良かった、、ちょっと自信がつきました。
有り難うございました。