麻雀において、対子が暗刻になるまでの平均順目

質問

とつげき東北の「科学する麻雀」を読んでいて疑問に思ったので質問します。
P235に「2つあるトイツがアンコになるまでには平均的に8順以上かかってしまう」とあるのですが、ここで8順という数字がなぜ得られるのか、わかりません。

例をあげて考えてみます。2つの対子はなんでもいいのですが、ここでは便宜上、1ピンと9ピンの対子とします。すると手牌はこのようになります。
(1)(1)(9)(9)ｘｘｘｘｘｘｘｘｘ　（ｘは1ピン、9ピン以外の34-2＝32種の牌のいずれか）
この手牌から、1ピン、9ピン以外の牌をツモってくればツモ切り、あるいはｘの任意の牌を切り出すとして、本当に約8順ほどで1ピン、9ピンのどちらかをツモってこれますか？ちなみに、ここでは鳴きは考慮しないものとします。1ピン、9ピンが相手の手牌や王牌に入っている場合はツモってこれないわけですが、そのような場合もランダムに起こりうるとします。

ここからは自分の考えになるのですが、8順以内に1ピン、9ピンのいずれかをツモってくる確率は、1-（8順以内に1ピン、9ピンのいずれかをツモってこない確率）になるので、
1-(119/123)*(118/122)*(117/121)*(116/120)*(115/119)*(114/118)*(113/117)*(112/116)
となります。ここで123とは牌の総数34*4＝136から自分の手牌の数13を引いたものです。この式を整理して計算すると
1-(115*114*113*112)/(123*122*121*120)
=0.238504
となりました。即ち、8順以内に1ピン、9ピンのいずれかをツモってくる確率は約24%であるとの答えが得られました。この答えはあっていますか？「2つあるトイツがアンコになるまでには平均的に8順以上かかってしまう」という記述と矛盾するわけですが。そもそも、求めるべき平均順目と、望む牌をツモってくる確率が約50%なる順目は一致しますか？

著者はモンテカルロシミュレーション?でこの数字を得たようですが、自分はプログラミングやシミュレーションの素養が現状ではほとんどないので読解が難航しています。確率や統計などに詳しい方、特に「科学する麻雀」を読んだことがある方からの回答をお待ちします。

回答No.1

noname#227653 · ベストアンサー

「平均順目」と「その順目までに上がる確率」を単純に比べることはできないのではないでしょうか。

私は完全に文系の人間なので拙いやり方でしか計算できませんが、配牌の13枚を除いた121枚の中から、第一自摸でアンコを作れる４枚（あなたの例でいうと１ピンか９ピン）を引いてくる確率は４÷123で約0.033、つまり約3.3％ですね。
そして18巡目で引いてくる確率は４÷106で約0.038、つまり約3.8％ですね。
おおざっぱにいうと１巡目から18巡目までの間で、ある１回の自摸でアンコを作れる確率は、この間をとってだいたい0.035、つまり約3.5％ということになります。0.033から0.038までの変化はたいして大きなものではないので、この0.035を使って計算します。

更に話をわかりやすくするために、トイツをふた組持っていてその4枚を最後まで切らずにアンコを作ろうとする人が1000人いるとしましょう。すると、１巡目で引いてくる人が35人、２巡目で引いてくる人も35人、18巡目で引いてくる人も35人いるということになりますね。
そして、平均順目というのは、順目の合計を人数で割ればいいのですから、まず順目の合計を出しましょう。
１巡目で引いてきた人の順目の合計は１×35、２巡目で引いてきた人の順目の合計は２×35、18巡目で引いてきた人の順目の合計は18×35ですから、これらすべての合計は
1×35＋２×35＋…18×35＝（１から18までの和）×35＝5985
となります。
そして、１巡目に引いた人から18巡目に引いた人までの合計は35人×18で630人ですね。
だから平均は5985÷630で9.5巡目となります。

ただ、これは18巡目まで続いた場合の話で、実際には他家が上がって終わってしまう場合がたくさんあります。その場合、アンコができるまでの巡目数が多い人ほど、アンコができる前に他家に上がられてしまうことが多くなります。とすると、上がった人の数に比べて、アンコができるまでの巡目数の方が大きく減ることになります（18巡目にアンコを作るはずだった人が一人減れば、人数は１減るだけですが、巡目の合計は18減りますからね）。
とすると、アンコができるまでの巡目の平均は下がることになります。9.5からどれだけ下がるかはわかりませんが（巡目ごとに他家が上がる確率をそれぞれ計算しなければならないので）、８巡目というのは考えられない数字ではないと思います。

なお、1000人のうち630人が18巡目までにアンコを作れるのですから、残りの370人は竜局までアンコが作れなかったということになります。
しかし、平均巡目を計算する場合、作れなかった人の人数は分母に含めませんよね。
数学に疎いので自信はありませんが、例えば友人と麻雀を打って、１位が２回、２位が１回、３位が２回、４位が３回、そして2回は抜けて観戦していた場合、平均順位は（１×２＋２×１＋３×２＋４×３）÷８回＝22÷８回で2.75位でしょう。抜けていた２回を分母に含めて22÷10＝2.2位とはしませんよね（そんなことをしたら、抜けていた回数が多いほど平均順位が低い、つまり成績がよいということになってしまいます）。

一方、アンコを作れる確率を計算するときは、当たり前ですが最後までアンコが作れなかった場合を考えに入れることになりますよね。
そこが確率と平均の違いになっているのではないでしょうか。

なお『科学する麻雀』は本棚のどこかにあるはずなのですが、見つからなかったので今回は参考にできませんでした。悪しからず。

お礼

改めて質問し直すので、締め切ります。
回答ありがとうございました。

補足

どうもありがとうございます。回答をもとにもう一度考えてみたのですが、残念ながらどうも納得がいきませんでした。
18巡目に目的の牌を引いてくる確率は4/106=0.038≒0.035とのことですが、実際に求めるべき18巡目に目的の牌を引いてくる確率は
（1から17巡目までに目的の牌をツモってこない場合の数）*（18巡目に初めて、4枚ある目的の牌の1牌目をツモってくる場合の数）/（すべての場合の数）
として求めるのが正しい気がします。あまり自信はないですが。
0.038を0.035で近似するのは問題ないと思います。しかし、全部で1000人のうち、毎順ごとに35人が目的を達成できるとすれば、
1000/35≒28.57
より29順までには1000人全員にアンコができていることになりますが、これってあってますか？もちろん、ここでは麻雀は18順で終わることを一旦、無視して考えています

回答No.2

noname#227653

先ほど投稿した者ですが、読み返したら「流局」が「竜局」となっていました。失礼しました。

お礼

改めて質問し直すので、締め切ります。
回答ありがとうございました。