R⊃E:有界、そして関数f:E→RがEで一様連続⇒fはEで有界
宜しくお願い致します。
[問]実数体R⊃E:有界、そして関数f:E→RがEで一様連続とする時、
fはEで有界となる事を示せ。
という問題を解いています。
これは仮定"fはEで一様連続"なので
0<∀ε∈R,∃δ＞0; (∀x,y∈E such that |x-y|＜δ) ⇒ |f(x)-f(y)|＜ε と言
え、
このεとして2Mを採れば
2M＞0,∃δ>0; (∀x,y∈E such that |x-y|＜δ) ⇒ |f(x)-f(y)|＜2M
と書けますね。
そして、∀x∈E; |f(x)|＜2M+|f(y)|と書けますが
ここでの∀x∈Eは|x-y|＜δという制限付きでの∀x∈E、
つまり、∀x∈E such that |x-y|<δですから全てのEの元を網羅してる訳では有りませんよね?
従って、∀x∈E; |f(x)|＜2M+|f(y)|で全てのx∈Eで抑えれると都合よくは書けないと思うのですが。。。
如何でしょうか?
お礼
ありがとうございます