1/(1+2x)>0⇒(1+2x)>0 ？

質問

高校の参考書の解説で解釈に不安な部分があったので、自分の考えで良いのか、質問させて下さい。

関数の不等号です

　条件：x≠0
　-1 < 1/(1+x) <= 1
左側の不等号部分に注目して
　-1 < 1/(1+x)
⇒0 < (2+x)/(1+x)
⇒(2+x)(1+x) > 0より、x < -2 , -1 < x……☆

この☆部分への変換の理由に自信がありません。

「積の正負を判定する際は、その符号が同符号か異符号かが重要であり、値は重要ではない」
「1/(1+x)と(1+x)は、すべてのxにおいて同符号である」
「ゆえに、xの範囲を求める場合に限っては、1/(1+x)を(1+x)と考えても問題はないので変換した」

という理由で良いのでしょうか？
参考書の解答には何の解説もなく、いきなり式を変換しているので、本当にこんな変換をしてもいいのか不安なのです。

皆様の知恵をお貸しください。

回答No.5

noname#212313 · ベストアンサー

>　-1 < 1/(1+x)
>⇒0 < (2+x)/(1+x)
>⇒(2+x)(1+x) > 0より、x < -2 , -1 < x……☆

>「積の正負を判定する際は、その符号が同符号か異符号かが重要であり、値は重要ではない」

　その通りです。

>「1/(1+x)と(1+x)は、すべてのxにおいて同符号である」

　正しいです。a≠0なる全ての実数aにおいて、aと1/aの符号は同じです。

>「ゆえに、xの範囲を求める場合に限っては、1/(1+x)を(1+x)と考えても問題はないので変換した」

　正しいんですが、

>⇒(2+x)(1+x) > 0より、x < -2 , -1 < x……☆

では無駄があるし、甘いです。0 < (2+x)/(1+x)のまま正負を判定するほうがよいです。正負が(2+x)/(1+x)と同じであることを証明する必要がありませんから（自明である、と述べるのも証明の一種）。

　0 < (2+x)/(1+x)からはまず、

　1+x≠0

は必須の条件となります。その上で、

　2+x＞0　かつ　1+x＞0　―(1)
　または
　2+x＜0　かつ　1+x＜0　―(2)

の二つが(2+x)/(1+x)＞0となる条件となります。(1)からは、

　x＞-2　かつ　x＞-1　∴x＞-1　―(1)’

が出ますし、(2)からは、

　x＜-2　かつ　x＜-1　∴x＜-2　―(2)’

が出ます。(1)と(2)は「または」である条件ですから、(1)’と(2)’も「または」となる条件です。ですので、

　-1＜x　または　x＜-2

となります。-2≦x≦-1を除いて成立するということですね。絶対に必要な条件であるx≠-1も（自動的に）排除されています。以上は(2+x)(1+x)＞0で解いても同じです。しかし、この問題では発生しませんが落とし穴があります。

　このご質問では「＞」と「＜」だから、(2+x)/(1+x)の正負を(2+x)(1+x)の正負として判定してもよかったのは、結果論でしかありません。分母があれば、それが0でないという条件は常に考慮する必要があります。そのためには、除法（/、÷）を、うかつに乗法にしてしまわないほうが安全です（※数学的にまずいのではなく、分母が0でないという条件を忘れがちになるという実用上の理由）。

P.S.

　(2+x)/(1+x)＞0と(2+x)(1+x)＞0の判定があまりにも同じなので、その参考書では「/」をうっかり書き忘れただけのような気もします。

お礼

回答ありがとうございます。

詳しい解説、大変分かりやすかったです。
「間違ってはいないが言葉足らずにも程がある」解説だったと、改めて分かりました。

＞「/」をうっかり書き忘れただけ
「2+x)/(1+x)＞0」と「(2+x)(1+x)＞0」が隣り合って並んでいた筈なので、書き忘れということはないと思います。

回答No.4

178-tall

少々、蛇足。

>「積の正負を判定する際は、その符号が同符号か異符号かが重要であり、値は重要ではない」
>「1/(1+x)と(1+x)は、すべてのxにおいて同符号である」
>「ゆえに、xの範囲を求める場合に限っては、1/(1+x)を(1+x)と考えても問題はないので変換した」
>という理由で良いのでしょうか？

これもこれで良さそう。

ハナシとしては、有理式の不等式　f(x) > g(x) を f(x) - g(x) > 0 として、f(x) - g(x) = h(x) の零点 ＆ 極の配列から不等式の成立範囲を摘出する、という手なのでしょうネ。

お礼

回答ありがとうございます。

＞有理式の不等式　f(x) > g(x) を f(x) - g(x) > 0 として～
参考書には別の解法として、双曲線を書いて範囲を特定する、というものがありました。
こちらの方が、変な変形をせずに済むので、簡単に解けそうです。

回答No.3

178-tall

>1/(1+2x)>0⇒(1+2x)>0 ？
　　↑
これは、ごもっとも。
　1/y > 0 ⇒ y > 0
ということでしょうから…。

>　条件：x≠0　-1 < 1/(1+x) <= 1
>左側の不等号部分に注目して　-1 < 1/(1+x)　⇒0 < (2+x)/(1+x)　⇒(2+x)(1+x) > 0より、x < -2 , -1 < x……☆
　　↑
この☆部分は、1+x > 0 、つまり x > -1 なる条件下の推論に相当。
「左側の不等号部分に注目し」たときの結論は、結局 -1 < x のみ。
(略グラフを描いてみれば、一目瞭然)

このあとのハナシはどうなってんノ？

補足

回答ありがとうございます。

お返事遅くなってしまい申し訳ありません。
＞この☆部分は、1+x > 0 、つまり x > -1 なる条件下の推論に相当。
x≠-1ではなく、x > -1 である理由がわからず、悩んでおりました。

＞このあとのハナシはどうなってんノ？
右側の不等式から同様にxの範囲を求め、両者の共通する部分が与式の範囲、という解き方だった筈です。

回答No.2

kikaze

その考えでおおかた合っています。両辺に(1+x)^2をかける、と考えたら分かりやすいでしょうか。

1つ付け加えるとしたら、
>「1/(1+x)と(1+x)は、すべてのxにおいて同符号である」
は「x≠-1において同符号である」とすべきということくらいでしょうか。

-1 < 1/(1+x) <= 1ということから、
(1+x)≠0つまり x≠-1というのは分かりますから、1/(1+x)と(1+x)は同符号である。として問題ありません。

お礼

回答ありがとうございます。

他の方にも太鼓判を押していただき、安心しました。

回答No.1

f272

面倒なことを考えなくてもいいのに...

0 < (2+x)/(1+x)
これの両辺に(1+x)^2をかける。(1+x)^2は正であるから，不等号の向きは変わらない。
したがって
0 < (2+x)(1+x)
が導かれる。

お礼

解答ありがとうございます。

＞これの両辺に(1+x)^2をかける。(1+x)^2は正であるから，不等号の向きは変わらない。
0に対する積による関数の変形は、変形前の式と変形後の式が一致するか不明なので、無意識の内に考慮外においていました。

極端な話ですが、両辺に(2+x)^2をかけた場合、不等号の向きは変わりませんが、x=-2の時範囲外となってしまいます。
何か、結果が変わらない条件のようなものがあるのでしょうか？