不等号の性質についてです。

質問

A＜B＜C⇔A＜BかつB＜C
でもあり。
A＜B＜C
⇒A＜BまたはB＜C
でもあるという事ですか？

回答No.4

noname#212313 · ベストアンサー

#3です。

　後半は難しかったでしょうか。説明下手ですので、言葉だけだとまずい説明だったかもしれません。図を用意して、その部分だけ説明し直してみます。

　まず、「A＜B」や「B＜C」というものは、論理学では「命題」と呼ばれるものになります。今回の説明では大小関係ではなく「かつ」と「または」の説明をしますので、命題「A＜B」を命題D、命題「B＜C」を命題Eと言い換えることにします。

　つまり、『「A＜B」かつ「B＜C」』は「DかつE」、『「A＜B」または「B＜C」』は「DまたはE」とするわけです。DとEで考えて理解できたら、Dを「A＜B」、Eを「B＜C」に戻して、また考えればよいでしょう。

　命題Dと命題Dは、それぞれが集合であると考えることもできます。命題に沿った要素を集めれば、それは集合と見做せますから、命題は集合と考えてよく、そうしたほうが分かりやすくなることが、よくあります。命題を集合で図式的に表したものをベン図といい、添付した画像はベン図の例になっています。

　さて、画像で塗りつぶしたところが「DかつE」や「DまたE」です。「かつ」の図で塗りつぶした部分は、「または」で塗りつぶした部分に含まれていることが分かると思います。

　それが、先の回答で申し上げた、

>「A＜BまたはB＜C」は、より厳しい「A＜BかつB＜C」という条件を含んだ条件です。

ということであり、さらに考えると、

>『A＜BかつB＜C』の「かつ」を「または」に緩めた「A＜B＜C⇒『A＜BまたはB＜C』」も、当然成り立ちます。

ということに対応しています。

お礼

ありがとうございます。
説明が下手というわけでは決してないです。
とても、分かりやすいです。
何が問題かというと、自分の勉強不足です（汗）

図があると理解しやすいですね。ありがとうボタンを押しました。

補足

ブロックで、ファン登録出来ないんですが・・。

回答No.3

noname#212313

>A＜B＜C⇔A＜BかつB＜C

　これは成り立ちます。A＜B＜Cであることを、A, B, Cの関係を数直線的に書けば、

数が小←―A――B―C―→数が大

ということになります。これは「A＜BかつB＜C」と同じことです。あるいは、「A＜BかつB＜C」を簡略に書いたのが「A＜B＜C」だということです。

>A＜B＜C⇒『A＜BまたはB＜C』

　これも成り立ちます。もし「A＜B＜C⇔『A＜BまたはB＜C』」だったら成り立ちません。「A＜BまたはB＜C⇒A＜B＜C」が成り立たないからです。

　反例は簡単に思いつきます。A=1, B=3, C=2であれば「A＜BまたはB＜C」は「1＜3または3＜2」ですが、これは間違ったものではありません。「または」なのですから、どちらかが成り立てばよいわけです。

「3＜2」は間違っていますから成り立ちませんが、「1＜3」は正しいですから成り立ちます。どちらかが成り立てばよいのが「または」なのですから、「A＜BまたはB＜C」は、A=1, B=3, C=2について成り立っています。

　しかし、「A＜B＜C」については「1＜3＜2」となり「3＜2」が成り立たず、従って「B＜C」の部分で間違いになっており、それを含む「A＜B＜C」に対しても間違いになります。

　A=1, B=3, C=2は、「A＜BまたはB＜C」で成り立ち、「A＜B＜C」で成り立たない。従って、「A＜BまたはB＜C⇒A＜B＜C」が成り立たない。これが成り立たない以上、双方向にした「A＜B＜C⇔『A＜BまたはB＜C』」も同じ反例で成り立たないことになります。反例が一つでも見つかれば成り立たないというのが、数学、論理学です。

　しかし、お示しなのは「A＜B＜C⇒『A＜BまたはB＜C』」です。左から右への一方通行で成り立てばよいということです。数学的、論理学的に言えば、「A＜B＜C」は「A＜BまたはB＜C」に対する十分条件である、ということになります。

「A＜BまたはB＜C」は、より厳しい「A＜BかつB＜C」という条件を含んだ条件です。双方向（必要十分条件）の「A＜B＜C⇔『A＜BかつB＜C』」は成り立つのですから、左から右へだけ（十分条件）にした「A＜B＜C⇒『A＜BかつB＜C』」は成り立つのは当然です。さらに、『A＜BかつB＜C』の「かつ」を「または」に緩めた「A＜B＜C⇒『A＜BまたはB＜C』」も、当然成り立ちます。

お礼

ありがとうございます！
凄く優秀な方なんでしょうけど、凄いパワーですね。頑張って全て読みました。
あれ？
>A＜B＜C⇒『A＜BまたはB＜C』

　これも成り立ちます。
確かに例を考えてみるとそうですね。おかげ様で助かりました！

最後は正直理解出来ていません（ここも分かりやすいんでしょうけど、自分の知識では理解不能でした（汗））。
＞「A＜BまたはB＜C」は、より厳しい「A＜BかつB＜C」という条件を含んだ条件です。双方向（必要十分条件）の「A＜B＜C⇔『A＜BかつB＜C』」は成り立つのですから、左から右へだけ（十分条件）にした「A＜B＜C⇒『A＜BかつB＜C』」は成り立つのは当然です。さらに、『A＜BかつB＜C』の「かつ」を「または」に緩めた「A＜B＜C⇒『A＜BまたはB＜C』」も、当然成り立ちます。
確かに「または」は「かつ」を含みますよね。感覚で理解しました。数学が割りと出来るようになってからまた読み返さしていただきます。追記的に、多分大学レベルの知識がいりますね、理解できないのも納得です。
＞「A＜B＜C⇔『A＜BかつB＜C』」は成り立つのですから、左から右へだけ（十分条件）にした「A＜B＜C⇒『A＜BかつB＜C』」は成り立つのは当然です。
の所です。これ自分習ってないですm(__)mでも、単なる理解不足かも。

回答No.2

takohachi765

A＜B＜C⇔A＜BかつB＜C
→全くその通りです。

A＜B＜C
⇒A＜BまたはB＜C
→違います。

「または」の使い方の話し。

「または」の場合は、「または」の対象（この場合は、A<BとB<C）どちらかが成立し
ていれば良いので、

例えば、A<B　が成立していれば　B>C　でも　B=C　でも　B≦C　でもB　≧C　でも良いことになります。

そうすると、

　B<C　ではないので、A<B<Cは成立しないですよね。

結局、不等号の性質というより、言葉の意味の話しかと。

お礼

ありがとうございます。
確かにそうですね。
理解出来ました。

回答No.1

kamobedanjoh

「または」ではなく「且つ」の意味です。
A<B<C と、前から小さい順に並べてあります。

お礼

ありがとうございます。
疑問に思って、良かったです。おかげ様で解決しました。