数学Aの問題（順列＆円順列＆組み合わせ＆二項定理）
問題数がとても多いですが、宜しくお願い致します。
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【I】 次の問いに答えよ．
(1) 540の正の約数(1および540を含める)の個数はいくつあるか．
(2) 千円札，二千円札，五千円札を用いて一万二千円を支払う．
支払う紙幣の枚数の違いによる支払い方法は何通りあるか．
ただし、各紙幣は、使わない札があってもよく、また、何枚使ってもよいものとする．
【II】 赤球1個，白球3個，青球5個，合計9個の球がある．
(1) 9個すべてをテーブル上で円形に並べる並べ方は全部で何通りか．
(2) 白球どうしが隣り合わないよう9個すべてをテーブル上で円形に並べる並べ方は全部で何通りあるか.
(3) 9個のうち7個を選んでテーブル上に円形に並べる並べ方は全部で何通りあるか.
【III】 0と書かれたカードが3枚，1と書かれたカードが2枚，2と書かれたカードが1枚，3と書かれたカードが1枚，計7枚のカードがある．
それらを並べて整数をつくる．ただし、1度使ったカードは再び使わないものとする.
(1) 7桁の整数は全部で何通りあるか．
(2) 7桁の整数で偶数であるものは全部で何通りあるか．
【IV】 a＋b＋c＋d＝8を満たす自然数(a,b,c,d)の組の総数は全部で何通りあるか.
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I、IIの(3)、III、IVはどの様にして考えて解いたらよいのかがわかりません。
IIの(1)と(2)は途中までは考えられたのでココに記載しておきます。
まず(1)ですが、そもそも同種類のものが何個もあるので、
それぞれの種類の球を円に並べた時の“通り”をかけて考えれば良いのでしょうか？
この様にして解くと…
赤玉は1個なので1通り
白玉 (3－1)!通り
青球 (5－1)!通り
となり、よって、1×6×24となるため、答えは144通り。
…しかし、実際の答えは3桁ではなく2桁です。
この考えが間違っているのでしょうか？
次に(2)です。
白球が隣り合わないようにということなので、
まず赤球と青球を先にテーブル上に並べてしまう。
そして、白玉を入れられるところは、赤玉と青球の間となるので、
6ヶ所になる。
よって、6Ｃ3となり、答えは20通り。
一応、この様に解けましたが、合っているか心配だったので記載しました。
長々となってしまいましたが、
参考書などを参考にしても解らなかったので、詳しく解説をしていただけると嬉しいです。
（※解くコツのみでも良いのでお願いします。）
お礼
リュックですか。ありがとうございます。