質問が読みづらく、悩みました。
店長の体調不良により店舗を休業するから勤務しているあなたにやってもらう仕事もないから休まされるということでしょうか？
最初読んだとき、店長が休むから店長の社会保障の件に読めてしまいました。
お店側の都合で強制的に休まされるわけですからお店側に休業補償をもらうべき話であり、社会が保障してくれるようなものではありません。
法令で雇用主都合で休業させるような場合には、平均給与の６割程度を保証しなければならなかったはずです。ただ、法令を守るかどうかは店側次第です。法令を守らない店を問題視するのであれば、労働基準監督署に訴え出て指導してもらったり、裁判を起こしたりすることになるでしょう。
個人商店のような小規模なお店の経営者であれば、どこまで法令を知って雇用しているかも怪しいものです。
また、問題視するような従業員はいらないと解雇をするとも言いかねません。もちろん、即日解雇などは認められませんし、解雇は書面による方法が義務付けられてもいます。解雇が認められる範囲で行ったとしても、解雇予告手当を平均給与の１か月分丸々を保障しなければなりません。
基本的に国などの行政が事業者などを守るということはありません。そのために経営者などを守る保険があるのです。店長さんが保険に加入しており、あなたの給与などもその保険から出るような契約にしてくれていれば、すんなり払ってくれるかもしれません。しかし、ほとんどの経営者が入りたくても、金銭的負担から入らないことが多いことでしょうね。
あなたが補償を求めるのであれば、店長を苦しめることになります。もちろんあなたの権利ですし、店長側店の責任でもあります。苦しめられた店長があなたを継続して雇用してくれるかは怪しいですし、雇用してくれても、いやな気持を持つことでしょう。
補償を求めるのであれば、仕事を辞める覚悟で店長さんへ補償を求めましょう。代理人の方経由になるかもしれませんがね。それで連絡がつかなければ、労働基準監督署から連絡してもらったり、弁護士や社会保険労務士へ依頼して交渉されることですね。
補足
雇用契約書はもらっておらず、採用されてから、その話をされませんでした