ちょっとややこしいんですが、できます。一応、辞書を確認してみましょう。
・プログレッシブ英和中辞典(第4版) care
http://kotobank.jp/ejword/care?dic=pej4&oid=SPEJ01151200
>━━[動](自)
>1 [I[副]]〈人が〉(…を)気づかう, 心配する, 案じる;(…に)気をもむ, 留意する;(…に)関心がある((for, about ...)). ▼進行形不可
>I care about his safety. 彼の安否が気にかかる
他動詞の用法はありません(研究社 新英和中辞典でも同じ)。お考えのことに当てはめてみると、how she is ~を名詞節を導く関係副詞だとすると(howがthe way that等に言い換え可能)、名詞なのですから、自動詞care+前置詞でないと文法エラーになります。
しかし、howは接続詞の用法もあります(関係副詞の用法のいくつかは、接続詞の用法とする人もいる)。その場合は副詞節だとされます。副詞なのですから、お考えの言い方のように前置詞は不要です。ただし、口語だと注意している辞書が多いようです。口語でも可とするなら、お考えの通りに言って大丈夫です。
P.S.
もし、careを名詞として、take careを使えば、
Cindy always take care too much how she is seen by others.
はhow she is ~を名詞節を導く関係副詞として、大丈夫です。口語でもありません。
英英辞書を調べると、careに他動詞の用法もあると記載されるようになってきています。英和・和英より英英のほうが言葉の流行を早く取り入れることから、そういう言い方も辞書に記載される頻度で出て来たと思われます。
ただ用例は、what do I careなどの疑問文、what節やthat節などに限られているようにみえます。学校のテストなどでは、英和・和英の記載範囲(careを自動詞のみとする)で解答しておくほうが安全でしょう。
お礼
回答ありがとうございます。家にあった古い辞書でも調べてみたのですが、care に他動詞の用法は記されていませんでした。ウィズダムには他動詞の用法も載っていました。今、大学受験のために勉強しているので、無難な方で解答するよう心がけます。